Statistica è tra le materie che generano più discussione nelle community WhatsApp e Telegram dedicate a L18 Pegaso. Non è solo la quantità di programma — il corso copre statistica descrittiva, calcolo delle probabilità e inferenza statistica. È la sua natura doppia: parte da imparare (definizioni, classificazioni, proprietà) e parte da saper fare (calcoli su carta, esercizi numerici). Chi sottovaluta la seconda metà arriva all'esame impreparato.
Il codice 0602512SECSS01NM (piano 2025, 12 CFU) vale per tutti gli indirizzi L18 dell'a.a. 25/26. Dalla community gli studenti riferiscono che la prova intermedia include anche esercizi numerici; è quindi bene avere padronanza di argomenti come varianza, probabilità, correlazione, regressione e verifica delle ipotesi. Non affidarti solo alla memoria: la calcolatrice e il foglio di carta sono i tuoi veri alleati.
Obiettivi formativi ufficiali
Dal programma ufficiale Pegaso:
- Rilevare, rappresentare e sintetizzare i dati statistici con le tecniche della statistica descrittiva: indici di sintesi, misure di dispersione, asimmetria e concentrazione
- Analizzare le relazioni tra variabili attraverso correlazione, regressione lineare e numeri indici, per interpretare fenomeni economici complessi
- Applicare i fondamenti del calcolo delle probabilità e le principali distribuzioni per la modellizzazione di fenomeni aleatori e l'elaborazione di inferenze statistiche
- Condurre stime puntuali e intervallari, verifiche di ipotesi e analisi della varianza (ANOVA), interpretando i risultati a supporto delle decisioni aziendali ed economiche
Cosa trovi in questa guida
Il programma è organizzato in tre blocchi che si costruiscono uno sull'altro — descrittiva, probabilità, inferenza — e in questa guida li seguiamo nello stesso ordine, perché ogni blocco richiede i concetti del precedente (le distribuzioni di probabilità riusano le stesse misure di sintesi della descrittiva; l'inferenza usa le distribuzioni di probabilità per generalizzare dal campione alla popolazione). Il metodo di studio operativo — tempi, esercizi, come affrontare i calcoli — è in fondo, nella sezione Metodo di studio.
Di cosa parla — programma 06025 (2025)
Il programma del codice 0602512SECSS01NM si sviluppa in tre grandi blocchi che costruiscono una visione completa della disciplina statistica: si parte dall'organizzazione e sintesi dei dati, si passa al calcolo delle probabilità e si arriva agli strumenti per fare inferenza su popolazioni da campioni. Il 12 CFU riflette un programma genuinamente ampio — non è un'inflazione di crediti.
- Fenomeni collettivi, unità statistica, caratteri qualitativi e quantitativi
- Tecniche di rilevazione (censimento, campione, questionario, Big Data)
- Distribuzioni di frequenza: assoluta, relativa, percentuale, cumulata
- Rappresentazione grafica: barre, istogrammi, torte, radar, diagrammi cartesiani
- Medie: aritmetica (5 proprietà), geometrica, trimmed mean, mediana, moda
- Quartili, percentili, box plot
- Varianza, deviazione standard, coefficiente di variazione
- Standardizzazione, teoremi di Chebyshev e Markov
- Concentrazione: curva di Lorenz, indice di Gini
- Eterogeneità: indici di Gini e di entropia
- Asimmetria: indice di Fisher (β₁), curtosi di Pearson (β₂)
- Numeri indici semplici e complessi (Laspeyres, Paasche, Fisher)
- Rapporti statistici (composizione, coesistenza, derivazione, densità), BES
- Distribuzioni doppie: frequenze congiunte, marginali, condizionate
- Indipendenza, associazione tra caratteri, rapporto di correlazione η²
- Covarianza, coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson
- Regressione lineare semplice: minimi quadrati, R²
- Concetti primitivi: prova, evento elementare, spazio campionario
- Definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista (De Finetti)
- Algebra degli eventi, postulati della probabilità
- Probabilità condizionata, eventi indipendenti
- Teorema di Bayes: probabilità a priori e a posteriori
- Variabili casuali discrete: funzione di probabilità, funzione di ripartizione
- Variabili casuali continue: funzione di densità
- Valore atteso, varianza di una v.c., standardizzazione
- Distribuzione Uniforme discreta
- Distribuzione di Bernoulli: E(X) = π, V(X) = π(1−π)
- Distribuzione Binomiale: somma di Bernoulli i.i.d.
- Distribuzione di Poisson: eventi rari in un intervallo fisso
- Distribuzione Normale: curva a campana, curtosi, tavole Z
- Teorema del Limite Centrale
- Campionamento casuale semplice (con/senza ripetizione)
- Campionamento stratificato (proporzionale e ottimale)
- Campionamento a grappolo e a due stadi
- Statistica inferenziale: stima puntuale e stima intervallare
- Stimatore vs stima — differenza fondamentale
- Proprietà degli stimatori: correttezza, efficienza (MSE), consistenza
- Metodo della massima verosimiglianza
- Intervalli di confidenza per la media (Z e t-Student)
- Intervalli di confidenza per proporzione e varianza
- Verifica delle ipotesi: H₀ e H₁, semplici e composte
- Errori di I tipo (α) e II tipo (β), regione di rifiuto
- P-value, procedura in 6 fasi
- Test per la media, per la proporzione, per la varianza (χ²)
- ANOVA — analisi della varianza
Ognuno di questi punti è sviluppato — con spiegazione, schema e collegamento logico al successivo — nella sezione Argomenti del programma da approfondire, nello stesso ordine in cui compare qui.
Riassunto Statistica nel gruppo
Il riassunto condiviso nella community copre tutti e tre i blocchi del programma — utile come schema di studio accanto alle dispense originali.
Il programma nel tempo — due codici, due modalità d'esame
Il codice non si sceglie: viene assegnato in base al piano di studi del tuo anno accademico di immatricolazione. Dal confronto dei due programmi ufficiali emerge un dato che sorprende molti studenti: le 60 videolezioni che compongono il corso sono sostanzialmente le stesse in entrambi i codici — cambia il modo in cui sono raggruppate nei CFU e, soprattutto, cambia la modalità d'esame. L'articolo si concentra sul codice 06025, il più recente.
| Caratteristica |
Codice 060250602512SECSS01NM12 CFU · PDF → |
Codice 060240602410SECSS0110 CFU · PDF → |
|---|---|---|
| Anno piano | Piano 2025 | Piano 2024 |
| Anno del corso | 1° anno | 2° anno |
| Indirizzo | Tutti gli indirizzi (a.a. 25/26) | Curricolo Statutario (a.a. 24/25) |
| CFU | 12 | 10 |
| Videolezioni | 60 (12 × 5 per CFU) | 60 (10 × 6 per CFU) — argomenti quasi identici |
| Modalità d'esame | Prova intermedia online (24 domande) + prova finale in presenza (7 domande) — oppure prova unica in presenza (31 domande) — oppure prova orale unica (solo Febbraio e Settembre) | Prova scritta (30 domande) oppure colloquio orale con la Commissione — gli appelli orali solo nella sede di Napoli |
| Riassunto disponibile | ✓ nel gruppo WA e Community TG | ✓ nel gruppo WA e Community TG |
Come trovare il tuo codice materia
Vai nella sezione I miei Insegnamenti della piattaforma Pegaso. Sotto il nome di ogni corso compare il codice: se vedi 0602512SECSS01NM il tuo programma è il 06025 (questa guida). Se vedi 0602410SECSS01 il tuo programma è il 06024.
L18 Pegaso: i percorsi di studio
Il corso L-18 di Pegaso si articola in tre percorsi. Statistica (SECS-S/01) è presente in tutti i percorsi come materia del 1° anno per chi ha il piano 2025 (2° anno per chi ha il piano 2024, cod. 06024) — il programma di base copre gli stessi temi, ma il numero di CFU cambia in base al codice assegnato.
| Percorso | Materie caratterizzanti (2°–3° anno) | Statistica nel piano |
|---|---|---|
| Business Management e Consulenza Direzionale | Economia e Gestione delle Imprese, Contabilità e Bilancio, Marketing, Organizzazione Aziendale, Economia degli Intermediari Finanziari, Diritto Tributario | 1° anno (12 CFU, piano 25/26) 2° anno (10 CFU, piano 24/25) |
| Imprese Digitali e ESG Management | Digital Marketing, Organizzazione dell'Impresa 5.0, Financial Accounting e Bilancio di Sostenibilità, Intermediazione Finanziaria e Fintech, Blockchain | |
| Management delle Imprese Turistiche | Economia e Gestione delle Imprese Turistiche, Bilancio e Controllo di Gestione, Marketing Agroalimentare e Turismo Enogastronomico, Organizzazione delle Imprese Turistiche, Geografia Economica del Turismo |
Argomenti del programma da approfondire
Statistica è cumulativa più di molte altre materie: la statistica descrittiva fornisce il linguaggio e gli indici che la probabilità userà per descrivere le distribuzioni, e la probabilità è a sua volta lo strumento su cui poggia l'inferenza. Per questo, a differenza di altre guide di questa collana, qui seguiamo lo stesso ordine del programma ufficiale — è anche l'ordine più efficace per studiarla. Ogni argomento è sviluppato con una spiegazione, uno schema di sintesi e un collegamento che spiega perché il prossimo segue logicamente da quello appena visto.
| Blocco | Descrittiva | Probabilità | Inferenza |
|---|---|---|---|
| Obiettivo | Sintetizzare e descrivere dati già osservati | Modellare l'incertezza di un fenomeno aleatorio | Generalizzare dal campione alla popolazione |
| Strumenti chiave | Medie, varianza, indici, regressione | Distribuzioni, valore atteso, Teorema del Limite Centrale | Stimatori, intervalli, test di ipotesi |
Mappa — la sequenza di questa guida
Statistica descrittiva
- Caratteri, unità statistiche e scale di misura
- Rilevazione e rappresentazione grafica dei dati
- Le medie: aritmetica, geometrica, mediana, moda
- Variabilità: varianza, deviazione standard, standardizzazione
- Concentrazione, eterogeneità e asimmetria
- Numeri indici e rapporti statistici
- Distribuzioni doppie, associazione e correlazione
- La regressione lineare semplice
Probabilità e inferenza
- I concetti di base della probabilità e il Teorema di Bayes
- Variabili casuali e distribuzioni di probabilità
- Il campionamento: dalla popolazione al campione
- Stima puntuale e stima per intervalli
- La verifica delle ipotesi
- ANOVA: confrontare più medie
Caratteri statistici, unità di rilevazione e scale di misura
Il primo passo del programma è imparare a classificare un dato prima ancora di calcolarci sopra qualcosa. Ogni carattere statistico — la proprietà osservata sull'unità statistica — è qualitativo (o mutabile, se esprime modalità non numeriche) oppure quantitativo (o variabile, se esprime valori numerici). I qualitativi si dividono in nominali (nessun ordine, es. il colore degli occhi) e ordinali (ordine ma distanze non misurabili, es. il livello di soddisfazione); i quantitativi in discreti (valori numerabili, es. il numero di figli) e continui (qualsiasi valore in un intervallo, es. il reddito). Questa classificazione determina quali indici e quali operazioni sono ammesse più avanti — è per questo che il programma la mette all'inizio.
Schema — Caratteri statistici e scale di misura
| Carattere | Scala di misura | Operazioni ammesse | Esempi |
|---|---|---|---|
| Qualitativo nominale | Nominale — solo uguale/diverso | Conteggio delle frequenze, moda | Sesso, colore degli occhi, stato civile |
| Qualitativo ordinale | Ordinale — ordine, distanze non misurabili | + mediana, percentili | Titolo di studio, scala di soddisfazione |
| Quantitativo discreto | Intervallo o rapporto | + media aritmetica, deviazione standard | Numero di figli, numero di dipendenti |
| Quantitativo continuo | Intervallo (zero convenzionale) o rapporto (zero assoluto) | + tutte le operazioni aritmetiche (scala rapporto) | Temperatura in °C (intervallo); altezza, reddito (rapporto) |
La differenza tra scala di intervallo e di rapporto è lo zero: nella scala di intervallo lo zero è convenzionale (0°C non significa "assenza di temperatura"), nella scala di rapporto lo zero è assoluto (0€ di reddito significa davvero nessun reddito) — solo la scala di rapporto ammette tutte le operazioni aritmetiche, incluse media geometrica e coefficiente di variazione.
Collegamento: una volta classificato il carattere, il passo successivo è capire come i suoi valori sono stati raccolti e come si presentano visivamente — la rilevazione e la rappresentazione grafica dei dati.
Rilevazione e rappresentazione grafica dei dati
Il programma distingue le tecniche con cui i dati vengono raccolti — censimento (tutta la popolazione), campione (una parte), questionario (rilevazione diretta) e le fonti più recenti come i Big Data (dati generati come sottoprodotto di altre attività, non raccolti apposta per la ricerca statistica) — dalle tecniche con cui, una volta raccolti, i dati vengono rappresentati graficamente. La scelta del grafico dipende dal tipo di carattere:
| Rappresentazione | Adatta a |
|---|---|
| Diagramma a barre | Caratteri qualitativi o quantitativi discreti |
| Istogramma | Caratteri quantitativi continui raggruppati in classi |
| Grafico a torta / ad area | Composizione percentuale di un totale |
| Diagramma radar | Confronto di più variabili sullo stesso soggetto |
| Cartogramma | Dati con distribuzione geografica |
Collegamento: dopo aver rappresentato la distribuzione, il passo successivo è sintetizzarla in un unico numero che ne rappresenti il centro — le medie.
Le medie: aritmetica, geometrica, mediana e moda
La statistica descrittiva riduce una distribuzione di molti valori a pochi indici di sintesi. Le medie sono il primo strumento, e la media aritmetica è la più usata — il programma richiede di conoscerne a fondo le cinque proprietà, perché da lì derivano molte dimostrazioni successive (in particolare la scomposizione della varianza nella regressione, più avanti in questa guida).
| Indice | Definizione | Caratteri applicabili | Proprietà chiave | Limite principale |
|---|---|---|---|---|
| Media aritmetica | Somma dei valori / numero di unità | Quantitativi (esclusivamente) | 5 proprietà: internalità, scarti nulli, minimo scarti quadratici, associativa, invarianza lineare | Sensibile agli outlier |
| Mediana | Valore che divide la distribuzione a metà (50%) | Ordinali + quantitativi | Minimizza la somma degli scarti in valore assoluto | Non tiene conto di tutti i valori |
| Moda | Il valore che si presenta con maggiore frequenza | Tutti (anche nominali) | Unica applicabile ai qualitativi nominali | Non tiene conto di tutti i valori; può non essere unica |
| Media geometrica | Radice n-esima del prodotto di n valori | Quantitativi positivi (dati "moltiplicativi") | log(Mg) = media aritmetica dei logaritmi | Non applicabile se ci sono valori ≤ 0 |
| Trimmed mean | Media aritmetica dopo rimozione di una % dei valori estremi | Quantitativi con outlier | Robusta agli outlier | Perde informazione sulle code |
Collegamento: la media dice dove si concentra la distribuzione, ma non dice quanto i valori si allontanano da essa. Serve un'altra famiglia di indici: quelli di variabilità.
Variabilità: varianza, deviazione standard e standardizzazione
Due distribuzioni possono avere la stessa media aritmetica ed essere molto diverse tra loro — una concentrata attorno al centro, l'altra dispersa. Gli indici di variabilità misurano questa dispersione, e sono anche il ponte verso la standardizzazione dei dati.
Schema — Indici di variabilità
| Indice | Definizione / Formula | Quando usarlo |
|---|---|---|
| Varianza (s²) | Media degli scarti quadratici dalla media: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n−1) per dati campionari | Misura la dispersione attorno alla media; espressa in unità quadrate → meno intuitiva della deviazione standard |
| Deviazione standard (s) | Radice quadrata della varianza; stessa unità di misura dei dati originali | Misura di variabilità più usata; base per la standardizzazione |
| Coefficiente di variazione (CV) | CV = s / x̄ × 100; variabilità relativa in percentuale | Confronta la dispersione tra distribuzioni con unità di misura o medie diverse |
| Standardizzazione (z-score) | Z = (x − x̄) / s | Esprime ogni valore come numero di deviazioni standard dalla media — rende confrontabili distribuzioni diverse |
Il teorema di Chebyshev fornisce un limite alla probabilità che un valore si discosti dalla media di più di un certo numero di deviazioni standard, valido per qualsiasi distribuzione. Il teorema di Markov fa lo stesso per variabili non negative, con un limite meno stretto ma condizioni più generali.
Il box plot rappresenta graficamente la variabilità attraverso i quartili: la scatola centrale racchiude il 50% centrale dei dati (dal primo al terzo quartile), la linea interna è la mediana, i "baffi" indicano il resto della distribuzione entro i valori non anomali.
Collegamento: gli stessi indici di variabilità sono alla base di altri due strumenti che il programma tratta separatamente: la concentrazione (quanto un fenomeno è distribuito in modo diseguale tra le unità) e l'asimmetria (quanto la distribuzione è simmetrica attorno alla media).
Concentrazione, eterogeneità e asimmetria
Tre modi diversi di guardare alla "forma" di una distribuzione, oltre a centro e dispersione. La concentrazione misura quanto un ammontare complessivo (es. il reddito totale) è distribuito in modo diseguale tra le unità: si rappresenta con la curva di Lorenz, che confronta la quota cumulata del fenomeno con la quota cumulata di popolazione, e si sintetizza nell'indice di Gini. L'eterogeneità misura invece quanto le unità sono distribuite in modo uniforme tra le modalità di un carattere qualitativo. L'asimmetria misura infine quanto la distribuzione si discosta dalla simmetria perfetta attorno alla media.
Schema — Concentrazione, eterogeneità e asimmetria a confronto
| Aspetto | Indice | Interpretazione |
|---|---|---|
| Concentrazione | Curva di Lorenz + indice di Gini | Gini = 0 → equidistribuzione perfetta (curva di Lorenz coincide con la diagonale); Gini = 1 → massima concentrazione |
| Eterogeneità | Indice di Gini (per la mutabilità) e indice di entropia | Valgono 0 quando tutte le unità cadono nella stessa modalità (massima omogeneità) e crescono con la dispersione tra le modalità |
| Asimmetria | Indice di Fisher (β₁) | β₁ = 0 → distribuzione simmetrica; positivo → coda a destra; negativo → coda a sinistra |
| Curtosi | Curtosi di Pearson (β₂) | Misura quanto la distribuzione è "appuntita" rispetto alla Normale (che ha β₂ = 3) |
Collegamento: concentrazione ed eterogeneità nascono spesso dal confronto di un fenomeno nel tempo o tra contesti diversi — è il compito dei numeri indici e dei rapporti statistici.
Numeri indici e rapporti statistici
I numeri indici misurano la variazione di un fenomeno nel tempo rispetto a un periodo base (=100). I numeri indici semplici confrontano una singola grandezza; i numeri indici complessi aggregano più beni o variabili, e richiedono di scegliere un sistema di pesi:
| Indice complesso | Pesi usati | Caratteristica |
|---|---|---|
| Laspeyres | Quantità del periodo base | Il più diffuso; tende a sovrastimare l'inflazione (non considera la sostituzione dei consumi) |
| Paasche | Quantità del periodo corrente | Richiede dati aggiornati ogni periodo; tende a sottostimare |
| Fisher | Media geometrica di Laspeyres e Paasche | "Indice ideale": corregge le distorsioni opposte dei due precedenti |
I rapporti statistici confrontano invece due grandezze in un unico istante: di composizione (una parte sul totale, es. % di laureati), di coesistenza (due parti omogenee tra loro, es. maschi su femmine), di derivazione (un fenomeno derivato su uno di base, es. tasso di natalità = nati / popolazione), di densità (un fenomeno sulla superficie, es. abitanti per km²). Il BES (Benessere Equo e Sostenibile) è il sistema di indicatori sviluppato da ISTAT e CNEL per superare i limiti del solo PIL nella misurazione del benessere di un paese — un'applicazione concreta di questi rapporti a fenomeni sociali ed economici.
Collegamento: fin qui abbiamo sintetizzato un carattere alla volta. Il passo successivo è studiare come due caratteri si comportano insieme — la base della correlazione e, più avanti, della regressione.
Distribuzioni doppie, associazione e correlazione
Una distribuzione doppia di frequenza incrocia due caratteri sulla stessa unità statistica: le frequenze congiunte (le celle della tabella a doppia entrata), le frequenze marginali (i totali di riga e colonna, cioè le distribuzioni dei due caratteri presi singolarmente) e le frequenze condizionate (la distribuzione di un carattere fissato un valore dell'altro). Da qui il programma introduce due strumenti per misurare quanto due caratteri sono legati tra loro:
Schema — Misurare il legame tra due caratteri
| Situazione | Strumento | Interpretazione |
|---|---|---|
| Un carattere quantitativo dipende da uno qualitativo (o quantitativo discreto) | Rapporto di correlazione η² | Quota di variabilità del carattere quantitativo "spiegata" dall'appartenenza ai gruppi — varia tra 0 e 1 |
| Due caratteri quantitativi | Covarianza e coefficiente di Bravais-Pearson (r) | Covarianza: positiva → crescono insieme; negativa → una cresce mentre l'altra decresce. r = cov(X,Y) / (sₓ·sᵧ), varia tra −1 e +1 |
Indipendenza statistica significa che le frequenze condizionate coincidono con quelle marginali — la distribuzione di un carattere non cambia al variare dell'altro. |r| < 0,3 indica correlazione debole, 0,3–0,7 moderata, > 0,7 forte; r = ±1 relazione lineare perfetta — ma correlazione non implica causalità.
Collegamento: quando la correlazione tra due variabili quantitative è forte, il passo successivo è stimare la relazione con un'equazione — è il modello di regressione lineare.
La regressione lineare semplice
Il modello di regressione lineare semplice stima l'equazione Ŷ = b₀ + b₁X che meglio approssima la relazione tra due variabili, con il metodo dei minimi quadrati: b₁ = cov(X,Y) / var(X) è il coefficiente angolare (la variazione media di Y per ogni unità in più di X), b₀ = ȳ − b₁x̄ è l'intercetta. La retta di regressione passa sempre per il baricentro (x̄, ȳ). Il concetto fondamentale del programma è la scomposizione della varianza totale.
Varianza complessiva di Y
Varianza spiegata da X
Varianza residua (non spiegata)
| Indice | Formula | Interpretazione |
|---|---|---|
| R² (coeff. di determinazione) | R² = SQR / SQT | % della varianza di Y spiegata da X. R² = 0,75 → X spiega il 75% della variabilità di Y |
| R² = r² | R² = p²ₓᵧ | Il coefficiente di determinazione è il quadrato del coefficiente di correlazione di Pearson |
Soluzione: SQR = 12.543 − 4.216 = 8.327 → R² = 8.327 / 12.543 = 0,664
Collegamento: con la regressione si chiude il blocco della statistica descrittiva. Ma ogni stima calcolata su un campione — anche una media o una retta di regressione — porta con sé un margine di incertezza. Per trattarlo in modo rigoroso serve il prossimo blocco: il calcolo delle probabilità.
I concetti di base della probabilità e il Teorema di Bayes
Il programma parte dai concetti primitivi: la prova (un esperimento con esito incerto), l'evento elementare (uno dei possibili risultati) e lo spazio campionario (l'insieme di tutti gli eventi elementari). Su questi si costruisce l'algebra degli eventi (unione, intersezione, evento complementare) e i postulati della probabilità (ogni evento ha probabilità tra 0 e 1, lo spazio campionario ha probabilità 1, eventi incompatibili si sommano). Esistono tre modi di definire la probabilità di un evento:
Schema — Le tre definizioni di probabilità
| Definizione | Come si calcola | Quando si usa |
|---|---|---|
| Classica | Casi favorevoli / casi possibili (eventi equiprobabili) | Giochi d'azzardo, eventi con simmetria nota (dadi, monete) |
| Frequentista | Frequenza relativa osservata su un gran numero di ripetizioni | Fenomeni ripetibili, dati storici |
| Soggettivista (De Finetti) | Grado di fiducia personale nell'evento, coerente con le regole del calcolo delle probabilità | Eventi unici, non ripetibili |
La probabilità condizionata P(A|B) = P(A∩B) / P(B) misura la probabilità di A sapendo che B si è verificato; due eventi sono indipendenti quando P(A|B) = P(A), cioè il verificarsi di B non cambia nulla per A. Da qui discende il Teorema di Bayes, che permette di "invertire" una probabilità condizionata: P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B) — aggiorna la probabilità a priori di A alla luce della nuova informazione B, ottenendo la probabilità a posteriori.
Collegamento: questi concetti si applicano a eventi singoli. Per descrivere fenomeni numerici serve lo strumento successivo: la variabile casuale, e le distribuzioni di probabilità che ne derivano.
Variabili casuali e distribuzioni di probabilità
Una variabile casuale associa un numero a ogni esito di una prova. Se è discreta si descrive con una funzione di probabilità (la probabilità di ciascun valore) e una funzione di ripartizione (la probabilità cumulata fino a un valore); se è continua si descrive con una funzione di densità. Ogni variabile casuale ha un valore atteso E(X) (la sua media teorica) e una varianza V(X) (la sua dispersione teorica). Il programma sviluppa cinque distribuzioni fondamentali:
| Distribuzione | Tipo | Quando si usa | E(X) | V(X) | Parametri |
|---|---|---|---|---|---|
| Uniforme discreta | Discreta | Risultati equiprobabili (dado, lotteria) | (min+max)/2 | — | s valori interi (da a a b) |
| Bernoulli | Discreta | Prova con 2 soli esiti (successo/insuccesso) | π | π(1−π) | π = probabilità di successo |
| Binomiale | Discreta | Somma di n prove Bernoulli i.i.d. — conta i successi totali | nπ | nπ(1−π) | n = prove, π = prob. successo |
| Poisson | Discreta | Eventi rari in un intervallo di tempo/spazio fisso (code, guasti, arrivi) | λ | λ | λ = tasso medio (E = V!) |
| Normale | Continua | Fenomeni reali distribuiti a campana; approssimazione di Binomiale con n grande | μ | σ² | μ (media), σ² (varianza) |
Teorema del Limite Centrale: la media campionaria di qualsiasi distribuzione (con varianza finita) tende alla Normale al crescere di n — per questo la Normale è ovunque, ed è il ponte verso il blocco successivo.
Collegamento: il Teorema del Limite Centrale è la chiave che apre l'inferenza statistica: se la media campionaria tende alla Normale, si può usare la teoria della probabilità per stabilire quanto ci si può fidare di una stima calcolata su un campione limitato. Il primo passo è capire come quel campione viene estratto.
Il campionamento: dalla popolazione al campione
L'inferenza statistica generalizza alla popolazione le informazioni raccolte su un campione — ma solo se il campione è stato estratto correttamente. Il programma sviluppa quattro tecniche di campionamento probabilistico:
| Tipo | Meccanismo | Quando si usa | Caratteristica chiave |
|---|---|---|---|
| CCS senza ripetizione | Ogni unità ha la stessa probabilità; estratta, non rientra | Lista completa disponibile, pop. piccola | Unità non reimmessa — estrazioni non indipendenti; la probabilità condizionata cambia ad ogni passo, ma ogni unità ha la stessa probabilità marginale di inclusione (n/N) |
| Stratificato | Popolazione divisa in strati omogenei; CCS dentro ogni strato | Pop. eterogenea con sottogruppi noti (es. regioni, settori) | Strati internamente omogenei, esternamente eterogenei |
| A grappolo | Pop. divisa in grappoli; si estraggono grappoli interi | Pop. geograficamente dispersa, nessuna lista completa | Si prendono tutte le unità del grappolo estratto |
| A due stadi | Come a grappolo, ma da ogni grappolo si estrae un sotto-campione | Grappoli grandi, costi elevati | Riduce costi rispetto al grappolo puro |
Collegamento: una volta estratto il campione, il passo successivo è usarlo per stimare un parametro della popolazione — con un singolo valore o con un intervallo.
Stima puntuale e stima per intervalli
Uno stimatore è la formula (es. la media campionaria x̄) usata per stimare un parametro della popolazione; una stima è il valore numerico che quella formula produce su un campione specifico — la differenza tra "la ricetta" e "il piatto". Il programma richiede di conoscere le proprietà che rendono uno stimatore affidabile, e il metodo più usato per costruirli.
Schema — Dalla stima puntuale alla stima per intervalli
| Proprietà | Definizione |
|---|---|
| Correttezza | Il valore atteso dello stimatore coincide con il parametro vero: E(stimatore) = parametro |
| Efficienza | Tra più stimatori corretti, il più efficiente è quello con errore quadratico medio (MSE) minimo |
| Consistenza | Al crescere della numerosità campionaria n, lo stimatore converge in probabilità al parametro vero |
Il metodo della massima verosimiglianza costruisce uno stimatore scegliendo il valore del parametro che rende più "verosimili" i dati osservati. Per la stima per intervalli, la scelta tra le due distribuzioni dipende da cosa si conosce: si usa la Normale (Z) quando la varianza della popolazione è nota o il campione è grande; si usa la t di Student (con n−1 gradi di libertà, code più pesanti della Normale) quando la varianza è ignota e il campione è piccolo — per n > 30 la t converge comunque alla normale standard.
Collegamento: stimare un intervallo risponde alla domanda "quanto vale il parametro". La verifica delle ipotesi risponde a una domanda diversa: "i dati sono compatibili con un'affermazione specifica su quel parametro?".
La verifica delle ipotesi
Il programma richiede di formulare due ipotesi contrapposte: l'ipotesi nulla (H₀), l'affermazione di assenza di effetto o differenza (lo status quo, es. μ = 0), e l'ipotesi alternativa (H₁), ciò che si vuole verificare — semplice o composta, a una o due code. Il test cerca sempre di confutare H₀, non di dimostrarla: il ragionamento è per assurdo. Decidere se rifiutare H₀ comporta due possibili errori:
| Decisione / Realtà | H₀ è VERA | H₀ è FALSA |
|---|---|---|
| Accetto H₀ | ✓ Decisione corretta |
Errore di II tipo (β) Non rifiuto H₀ quando è falsa "Non vedo un effetto che c'è" |
| Rifiuto H₀ |
Errore di I tipo (α) Rifiuto H₀ quando è vera "Vedo un effetto che non c'è" α = livello di significatività |
✓ Decisione corretta |
Il programma organizza tutto questo in una procedura fissa, applicata poi ai test per la media, la proporzione e la varianza (χ², distribuzione asimmetrica a destra usata quando il parametro da testare è una varianza):
1. Formula le ipotesi
Si definisce l'ipotesi nulla H₀ e l'ipotesi alternativa H₁ — semplice o composta, a una o due code.
2. Scegli il livello di significatività (α)
α è la probabilità massima di errore di I tipo che si è disposti ad accettare — convenzionalmente 0,05 o 0,01. Si sceglie prima di osservare i dati, non dopo.
3. Calcola la statistica test
Si sceglie e si calcola la statistica appropriata al parametro da testare (Z, t di Student o χ² a seconda del caso) a partire dai dati campionari.
4. Definisci la regione di rifiuto o il p-value
La regione di rifiuto è l'insieme di valori della statistica test che portano a rifiutare H₀; in alternativa si calcola il p-value.
5. Confronta e decidi
Se la statistica test cade nella regione di rifiuto (o il p-value è inferiore ad α), si rifiuta H₀; altrimenti non si rifiuta — il che non equivale a "provarla vera".
6. Interpreta il risultato
La decisione statistica va tradotta nel contesto del problema: cosa significa, in pratica, per il fenomeno che si sta analizzando.
Collegamento: i test visti finora confrontano al massimo due gruppi. Quando i gruppi da confrontare sono più di due, ripetere il test a coppie farebbe crescere il rischio di errore di I tipo — serve uno strumento pensato apposta: l'ANOVA.
ANOVA: confrontare più medie
L'ANOVA (analisi della varianza) estende il confronto tra medie a più di due gruppi contemporaneamente, scomponendo la variabilità totale dei dati in variabilità tra i gruppi (between) e variabilità dentro i gruppi (within), e confrontandole attraverso la distribuzione F.
Schema — La logica dell'ANOVA a un fattore
| Elemento | Significato |
|---|---|
| H₀ | Tutte le medie dei gruppi sono uguali (nessun effetto del fattore) |
| Variabilità between | Quanto le medie dei gruppi differiscono tra loro |
| Variabilità within | Quanto i valori variano dentro ciascun gruppo, attorno alla propria media |
| Statistica F | Rapporto tra variabilità between e within: valori alti portano a rifiutare H₀ |
Se l'ANOVA rifiuta H₀, indica solo che almeno una media è diversa dalle altre — non quale. Le esercitazioni del programma (test per la media, per la varianza, per la proporzione, ANOVA) applicano questi strumenti a casi numerici concreti: è la parte in cui la teoria si trasforma in calcolo, ed è anche la parte su cui la community insiste di più — la vedi nella prossima sezione.
Con l'ANOVA si chiude il percorso costruito in questa guida: dalla classificazione di un singolo dato alla sintesi di una distribuzione, dal linguaggio della probabilità alla generalizzazione dal campione alla popolazione. È lo stesso ordine, non a caso, in cui il programma ufficiale eroga le 60 videolezioni del corso.
Metodo di studio consigliato dai colleghi
Consigli raccolti dalla community L18 Pegaso — dal gruppo WhatsApp Statistica L18 e dai gruppi generali del corso:
- Il riassunto del gruppo è il punto di partenza, non il punto di arrivo. Il riassunto struttura tutto il programma in modo chiaro e copre le definizioni fondamentali. Va integrato con la pratica degli esercizi: chi studia solo la teoria e non si allena sui calcoli trova la prova più difficile del previsto.
- Ogni definizione merita un esempio numerico immediato. La statistica diventa concreta quando la applichi a un set di dati anche piccolo (5-10 valori). Calcola media, mediana, varianza e deviazione standard su numeri inventati — fino a quando il meccanismo non è automatico.
- La parte di probabilità richiede un approccio diverso dalla descrittiva. Bernoulli, Binomiale e Bayes sono argomenti che molti studenti trovano "astratti" nelle prime letture. Il segreto è lavorare su esercizi con enunciati concreti (urne, dadi, test diagnostici) finché il ragionamento probabilistico diventa naturale.
- Per la normale standardizzata: prendere confidenza con le tavole Z. Le tavole statistiche non vanno memorizzate ma va capito come usarle: l'area a sinistra di Z, la simmetria per valori negativi, il passaggio dalla distribuzione generica alla standardizzata. Fai 10-15 esercizi di questo tipo.
- Il colloquio punta alla comprensione dei collegamenti, non alla ripetizione. Avere un filo conduttore tra le aree del programma (descrittiva → probabilità → inferenza) aiuta più della memorizzazione meccanica delle formule.
- Chi ha il codice 06024: il riassunto nel gruppo include anche la versione per il piano precedente — segnala in chat il tuo codice per trovare i materiali adatti.
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Nel gruppo trovi riassunti, schemi di studio e materiali condivisi su Statistica L18 Pegaso.
Domande più frequenti dalla community
- L'esame di Statistica richiede esercizi numerici o solo teoria?
- Per il codice 06025, chi ha già sostenuto l'esame riporta che la prova include esercizi numerici che richiedono calcoli — non si risponde a caso. Il foglio di carta e la capacità di applicare le formule (varianza, correlazione, probabilità, regressione) sono strumenti indispensabili. Per il codice 06024 verifica le modalità nella bacheca del tuo corso.
- Il riassunto del gruppo è sufficiente o serve altro?
- Il riassunto condiviso nella community copre l'intero programma in modo strutturato ed è un ottimo punto di partenza. Per gli esercizi numerici è indispensabile esercitarsi — il riassunto spiega il "cosa" e il "perché", ma il "come si calcola" si impara solo facendo calcoli. Tieni a portata di mano carta, penna e le formule principali.
- La differenza tra 06024 e 06025 riguarda solo i CFU o anche gli argomenti?
- Riguarda soprattutto la modalità d'esame, non gli argomenti: le videolezioni sono le stesse 60 in entrambi i codici, solo raggruppate diversamente nei CFU. Il 06025 (piano 2025) prevede una prova intermedia online più una prova finale in presenza; il 06024 (piano 2024) prevede invece una prova scritta di 30 domande oppure un colloquio orale, con gli orali possibili solo a Napoli. Il riassunto nel gruppo copre l'intero programma, valido per entrambi i codici.
- Come funziona il colloquio in presenza per Statistica?
- Il colloquio verifica la comprensione dei collegamenti tra i tre blocchi del programma — descrittiva, probabilità, inferenza — più che la ripetizione meccanica delle formule. Chi ha portato Statistica insieme ad altre materie quantitative (es. Economia Aziendale) ha potuto integrare i concetti nei ragionamenti aziendali. Il colloquio dura 15-20 minuti e puoi scegliere di limitarti a confermare il voto.
Come funziona l'esame
Come tutti gli esami Pegaso, Mercatorum e San Raffaele dal 2026: prova intermedia online (Lockdown Browser, da casa) seguita da prova finale obbligatoria in presenza per verbalizzare il voto definitivo.
Le modalità cambiano frequentemente: numero di domande, sessioni in presenza, punti premialità, tablet vs orale. Trovi tutto spiegato nella guida completa, sempre aggiornata:
Come funzionano gli esami Pegaso, Mercatorum e San Raffaele →Chi ha il codice 06024 (piano 2024) segue una modalità diversa da quella standard appena descritta: l'esame prevede una prova scritta di 30 domande a risposta multipla oppure, in alternativa, un colloquio orale con la Commissione d'esame — con gli appelli orali disponibili solo nella sede di Napoli. Verifica sempre le istruzioni aggiornate nella bacheca del tuo specifico codice.
Quanto tempo serve per prepararsi
Secondo gli studenti che hanno già sostenuto l'esame, conviene iniziare almeno 4 settimane prima della sessione desiderata — 5-6 settimane se si parte da zero.
Con basi di matematica o statistica (liceo scientifico, altri corsi universitari): 3-4 settimane sono sufficienti. Il programma descrittivo risulta più familiare; la parte di probabilità e inferenza richiede comunque tempo per gli esercizi.
Senza basi: 5-6 settimane. La prima settimana serve per capire la logica della statistica descrittiva (frequenze, medie, variabilità) prima di passare alle formule. La parte di probabilità è la più ostica per chi non ha mai visto variabili casuali.
Sequenza consigliata da chi ha già dato: Settimane 1-2 → Statistica descrittiva (caratteri, frequenze, medie, variabilità, grafici, numeri indici). Settimane 3-4 → Probabilità e distribuzioni (Bernoulli, Binomiale, Poisson, Normale). Settimana 5 → Inferenza statistica (campionamento, stima, verifica delle ipotesi). Ultima settimana → Esercizi numerici intensivi su tutti i blocchi.
Questa materia ti prepara a…
Statistica è la base quantitativa di tutto il percorso L18. Le materie che la riprendono direttamente:
- Statistica Economica (2° anno, cod.
0602506SECSS03IINM) — usa le basi di statistica descrittiva e numeri indici per analizzare fenomeni economici aggregati (PIL, inflazione, prezzi). Chi ha interiorizzato i numeri indici e le serie storiche trova questa materia molto più accessibile. - Economia Politica — utilizza grafici statistici (domanda/offerta, curve di Lorenz per la distribuzione del reddito) e ragionamenti probabilistici. Chi ha già visto la curva di Lorenz e l'indice di Gini non si trova spiazzato.
- Metodologie e determinazione dei valori d'azienda — la regressione lineare e l'analisi della varianza (ANOVA) tornano nell'analisi delle performance aziendali e nei modelli di valutazione.
Tutte le materie del piano di studi L18 Pegaso le trovi nell'indice materie L18 Pegaso →
Domande frequenti
12 CFU nel piano 2025 (cod. 0602512SECSS01NM), 10 CFU nel piano 2024 (cod. 0602410SECSS01). Con 12 CFU è una delle materie più pesanti del piano — stessa fascia di Economia Aziendale e Diritto Privato. Il codice non si sceglie: è assegnato dall'università in base all'anno accademico di immatricolazione.
La prova intermedia del codice 06025 è a distanza e comprende 24 domande a risposta multipla sulla prima parte del programma; la prova finale, in presenza, ne comprende 7 sulla seconda parte. Il voto finale, in trentesimi, somma i punteggi delle due prove — minimo 18/30 per superare l'esame, fino a 2 punti bonus per la partecipazione alla didattica sincrona e i test di fine lezione, lode al punteggio massimo di 31/30. Le regole della piattaforma richiedono inoltre: calcolatrice scientifica obbligatoria, foglio bianco per i calcoli obbligatorio, tavole statistiche scaricabili dalla sezione Documenti del corso. Regola critica: al termine di ogni esercizio devi mostrare il foglio dei calcoli alla webcam — pena l'annullamento della prova.
Il programma didattico è quasi identico: entrambi i codici coprono le stesse 60 videolezioni (descrittiva, probabilità, inferenza), solo raggruppate diversamente nei CFU (12 CFU × 5 videolezioni nel 06025, 10 CFU × 6 videolezioni nel 06024). La differenza che conta davvero è la modalità d'esame: il 06025 (a.a. 25/26) segue il modello con prova intermedia online e prova finale in presenza; il 06024 (piano 2024) prevede una prova scritta di 30 domande oppure un colloquio orale con la Commissione, con gli appelli orali possibili solo nella sede di Napoli.
Le dispense del docente (PDF scaricabili in piattaforma) sono il riferimento primario. Il riassunto condiviso nel gruppo WhatsApp dedicato è utile come schema di sintesi — copre tutti i capitoli in modo strutturato. Per gli esercizi numerici allena i calcoli con dati di esempio: varianza, correlazione, intervalli di confidenza, test di ipotesi.
La parte teorica (definizioni, classificazioni, concetti) è accessibile anche senza un background matematico forte. La parte degli esercizi numerici richiede dimestichezza con le formule e la calcolatrice. Chi parte da zero ha bisogno di 5-6 settimane, partendo dalla statistica descrittiva e costruendo gradualmente. La comunità è attiva e disponibile per confronti e chiarimenti.
Il colloquio è obbligatorio per verbalizzare il voto definitivo e dura circa 15-20 minuti. Il colloquio verifica la comprensione del programma — puoi scegliere di limitarti a confermare il voto scritto senza rispondere a domande aggiuntive.
Con basi di matematica/statistica: 3-4 settimane. Senza basi: 5-6 settimane. Il programma è ampio (descrittiva + probabilità + inferenza) e richiede sia studio teorico che pratica degli esercizi. Inizia dalla statistica descrittiva (più concreta e visiva) e poi procedi verso probabilità e inferenza.
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