Analisi Matematica è la prima materia tecnica che incontri nel percorso L9 Ingegneria Gestionale Mercatorum. Con 12 CFU e 60 unità didattiche è anche quella con il carico di contenuti più alto del 1° anno — e non è solo "analisi" nel senso classico: il programma ufficiale (cod. 0092512MAT05) copre insiemi numerici, successioni, limiti, serie, continuità, calcolo differenziale e integrale, e chiude con un blocco intero di algebra lineare (vettori, spazi vettoriali, sistemi lineari, matrici, determinanti) — non con le equazioni differenziali, come talvolta si crede. Questa guida raccoglie il programma completo verificato sul PDF ufficiale, i codici corso per tutti i piani di studio e le strategie che funzionano dalla community.
Di cosa parla il programma
Cosa trovi in questa guida
Il programma ufficiale in 60 unità didattiche, gli obiettivi formativi, i codici corso per tutti i piani, lo sviluppo completo di ogni blocco tematico con schemi di supporto (derivate, integrazione, algebra lineare), il metodo di studio consigliato dalla community e le domande frequenti sull'esame.
Obiettivi formativi — programma Mercatorum
- Padroneggiare le nozioni fondanti del calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
- Comprendere e applicare le definizioni e i teoremi fondamentali dell'Analisi per funzioni di una variabile
- Risolvere problemi concreti gestendo gli strumenti dell'Analisi anche in vista dei corsi applicativi successivi
- Valutare correttezza e coerenza dei risultati ottenuti, anche attraverso l'uso sintetico di grafici e tabelle
- Applicare gli strumenti di base dell'algebra lineare (vettori, sistemi, matrici, determinanti) alla risoluzione di problemi
Codici corso (tutti i piani di studio)
Il codice di Analisi Matematica I è invariato in tutti i piani di studio L9 Mercatorum dal 2024/2025 al 2026/2027:
Codici Analisi Matematica I — L9 Ingegneria Gestionale Mercatorum
| Piano A.A. | Nome nel piano | CFU | Codice | Anno |
|---|---|---|---|---|
| 2024/2025 | Analisi Matematica I | 12 | 0092512MAT05 | 1° |
| 2025/2026 | Analisi Matematica I | 12 | 0092512MAT05 | 1° |
| 2026/2027 | Analisi Matematica I | 12 | 0092512MAT05 | 1° |
Il piano prevede anche Analisi Matematica II (MAT/05, 9 CFU, cod. 0092509MAT05) al 2° anno — un corso separato che approfondisce le funzioni di più variabili e il calcolo vettoriale avanzato.
Nel gruppo trovi riassunti, schemi di studio e materiali condivisi dagli studenti.
Argomenti del programma da approfondire
Il programma ufficiale (60 unità) si articola in due macro-parti: le prime 42 unità sviluppano l'analisi classica per funzioni di una variabile reale (insiemi numerici, funzioni, successioni, limiti, serie, continuità, calcolo differenziale e integrale); le ultime 18 unità (43-60) passano all'algebra lineare — vettori, spazi vettoriali, sistemi lineari, matrici e determinanti. Sono due blocchi indipendenti nel contenuto ma con la stessa logica di fondo: prima si costruiscono gli strumenti, poi si usano per risolvere problemi concreti. Segui la sequenza qui sotto, che rispetta l'ordine logico di costruzione dei concetti.
Roadmap — I 10 blocchi del programma
1. Insiemi numerici e principio di induzione
Il corso parte dalle nozioni preliminari: insiemi, numeri naturali, interi, razionali e reali. Su questi insiemi si definiscono i concetti di maggiorante/minorante e di estremo superiore/inferiore (il più piccolo dei maggioranti, il più grande dei minoranti) — nozioni che tornano continuamente più avanti, ad esempio per definire i limiti di successioni monotone. Il programma tratta anche la topologia della retta reale (intorni, punti di accumulazione) e il principio di induzione, lo strumento con cui si dimostrano le proprietà valide per ogni numero naturale.
Collegamento: il principio di induzione e i concetti di estremo superiore/inferiore sono gli strumenti con cui, nel blocco successivo, si formalizzano le proprietà delle funzioni — dominio, monotonia, limitatezza — prima di passare al concetto di limite.
2. Funzioni reali ed elementari
Il programma introduce la definizione generale di funzione e le sue proprietà (iniettività, suriettività, monotonia), poi passa in rassegna le funzioni elementari che ricorreranno per tutto il corso: rette, potenze, radici, polinomi; esponenziali e logaritmi; valore assoluto e funzione caratteristica; le funzioni trigonometriche. Chiude con il grafico della composizione di funzioni elementari — capire come si trasforma un grafico componendo funzioni semplici (traslazioni, riflessioni, dilatazioni) è la base per leggere qualunque grafico più complesso incontrato in seguito.
Schema — Famiglie di funzioni elementari
| Famiglia | Esempio | Dominio tipico |
|---|---|---|
| Potenze e radici | xn, √x | ℝ oppure x ≥ 0 (radici pari) |
| Esponenziali e logaritmi | ax, loga x | ℝ (esponenziale), x > 0 (logaritmo) |
| Trigonometriche | sin x, cos x, tan x | ℝ (sin, cos), x ≠ π/2 + kπ (tan) |
| Valore assoluto | |x| | ℝ |
Collegamento: le funzioni elementari sono il materiale grezzo su cui si costruiscono i primi limiti — successioni e limiti notevoli sono quasi sempre combinazioni di queste funzioni.
3. Successioni numeriche e limiti
Il primo concetto di limite che il corso introduce è quello di successione: una funzione definita sui numeri naturali. Dopo la definizione e le prime proprietà, il programma tratta gli esempi notevoli (successioni geometriche, potenze) e l'ordine di infinito — il criterio per confrontare la "velocità" con cui due successioni divergono. Chiude con il numero di Nepero e, definito come limite della successione (1+1/n)n, e le successioni di Cauchy, che convergono senza bisogno di conoscere in anticipo il limite.
Collegamento: il numero e e le tecniche per il calcolo dei limiti di successione si riusano identiche nel blocco successivo, quando il concetto di limite si estende dalle successioni alle funzioni continue su un intervallo.
4. Limiti di funzioni e limiti notevoli
Il concetto di limite si estende dalle successioni alle funzioni reali di variabile reale: definizione formale, teorema ponte (che collega il limite di funzione al limite delle successioni) e prima introduzione delle funzioni continue. Il programma tratta poi i limiti notevoli in due gruppi: quelli con potenze, esponenziali e logaritmi (es. ln(1+x)/x → 1) e quelli con le funzioni trigonometriche (es. sin(x)/x → 1) — strumenti indispensabili per risolvere le forme indeterminate che compariranno in tutto il resto del corso.
Collegamento: con gli strumenti del limite ormai completi, il programma li applica subito a un nuovo oggetto — le serie, cioè somme di infiniti termini, che si definiscono proprio come limite di una successione di somme parziali.
5. Serie numeriche
Una serie è la somma di infiniti termini di una successione, definita come limite della successione delle somme parziali. Il programma introduce prima la teoria generale, poi distingue le serie a termini positivi (dove si applicano criteri di convergenza specifici) dalle serie a termini di segno variabile, che richiedono strumenti diversi come il criterio di Leibniz per le serie alterne.
Schema — Tipi di serie numeriche nel programma
| Tipo di serie | Caratteristica |
|---|---|
| A termini positivi | Tutti i termini ≥ 0: la successione delle somme parziali è monotona crescente, quindi converge o diverge a +∞ |
| A termini di segno variabile | I termini cambiano segno: serve distinguere convergenza semplice e assoluta (criterio di Leibniz per le serie a segni alterni) |
Collegamento: serie e continuità condividono lo stesso concetto di fondo — il comportamento al limite — ma il programma torna ora sulle funzioni: prima di derivarle bisogna sapere quando una funzione è continua e quali teoremi valgono su questa proprietà.
6. Continuità e teoremi fondamentali
Una funzione continua in un punto non ha "salti": il valore della funzione coincide con il limite. Il programma tratta la classificazione dei punti di discontinuità (eliminabile, di prima e di seconda specie), poi tre teoremi cardine per le funzioni continue su un intervallo chiuso: il teorema dell'esistenza degli zeri (se la funzione cambia segno, si annulla in almeno un punto), il teorema dei valori intermedi e il teorema di Weierstrass (una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ammette massimo e minimo). Chiude con la continuità delle funzioni monotone e della funzione inversa.
Collegamento: il teorema di Weierstrass garantisce che una funzione continua ha massimo e minimo su un intervallo chiuso — ma non dice come trovarli. È il calcolo differenziale, il blocco successivo, a fornire lo strumento operativo per individuarli.
7. Calcolo differenziale e formula di Taylor
Il blocco più esteso del programma (9 unità). Si parte dalla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e dalle regole di derivazione per funzioni composte e inverse, poi si passa alle derivate delle funzioni elementari. Il programma tratta i tre teoremi fondamentali del calcolo differenziale — Fermat (punti stazionari), Rolle e Lagrange (valor medio) — e i criteri di monotonia e convessità che derivano da essi. Segue il calcolo dei limiti attraverso le derivate (il metodo di de l'Hôpital per le forme indeterminate), la formula di Taylor con le sue applicazioni (approssimare una funzione con un polinomio vicino a un punto) e infine lo studio completo del grafico di una funzione.
Collegamento: lo studio di funzione chiude il capitolo "differenziale" nel modo più concreto — disegnare un grafico usando ogni strumento visto finora. Il passo successivo del programma inverte il problema: dato un grafico, calcolarne l'area sottesa, cioè l'integrale.
8. Calcolo integrale
Il programma definisce l'integrale definito secondo Riemann e ne studia le proprietà, poi introduce il teorema fondamentale del calcolo integrale — il ponte che collega derivate e integrali, per cui calcolare un integrale definito equivale a trovare una primitiva. Segue l'integrale indefinito e le tecniche di integrazione: integrazione delle funzioni razionali, per parti, per sostituzione (incluse alcune sostituzioni speciali) — e infine gli integrali impropri, per funzioni non limitate o su intervalli non limitati.
Collegamento: con il calcolo integrale si chiude la parte "analisi" del programma. Le ultime 18 unità cambiano completamente argomento: dai numeri reali si passa ai vettori, la base dell'algebra lineare — uno strumento che in Ingegneria Gestionale torna continuamente, dalla programmazione lineare alla statistica multivariata.
9. Vettori e spazi vettoriali
Il programma introduce i vettori geometrici e poi generalizza il concetto con la nozione astratta di spazio vettoriale e di sottospazio. Segue lo studio della dipendenza e indipendenza lineare di un vettore rispetto a un sistema di vettori (e di sistemi di vettori tra loro), fino ai concetti di dimensione e base di uno spazio vettoriale — il numero minimo di vettori indipendenti necessari per generare l'intero spazio.
Schema — Concetti chiave dello spazio vettoriale
| Concetto | Significato |
|---|---|
| Sottospazio | Sottoinsieme di uno spazio vettoriale, chiuso rispetto a somma e prodotto per scalare |
| Indipendenza lineare | Nessun vettore del sistema è combinazione lineare degli altri |
| Base | Sistema di vettori indipendenti che genera tutto lo spazio |
| Dimensione | Numero di vettori in una base (invariante per lo stesso spazio) |
Collegamento: il concetto di dimensione e base porta dritti al problema pratico più comune dell'algebra lineare — risolvere un sistema di più equazioni in più incognite, cioè un sistema lineare.
10. Sistemi lineari, matrici e determinanti
Il programma chiude con gli strumenti operativi dell'algebra lineare: introduzione ai sistemi lineari, il rango di una matrice e la sua applicazione alla risoluzione dei sistemi, il concetto di sistemi lineari equivalenti e la formula di Grassmann. La parte algoritmica è affidata al metodo di eliminazione di Gauss, applicato passo passo alla risoluzione dei sistemi. Seguono le applicazioni lineari e il prodotto tra matrici, la matrice di un'applicazione lineare e la matrice inversa, il calcolo del determinante e le sue proprietà, fino al calcolo del rango e alla risoluzione di sistemi lineari tramite il determinante (regola di Cramer).
Collegamento: matrici, determinanti e sistemi lineari sono lo strumento con cui Ricerca Operativa formalizza la programmazione lineare (vincoli come sistema di disequazioni, funzione obiettivo come combinazione lineare) — l'algebra lineare qui appresa è la base diretta di quella materia del 2° anno.
Schemi di sintesi
Schema — Tabella derivate fondamentali
| Funzione f(x) | Derivata f'(x) | Note |
|---|---|---|
| xn | n · xn−1 | n ∈ ℝ (potenza) |
| ex | ex | l'unica funzione uguale alla sua derivata |
| ax | ax · ln a | a > 0, a ≠ 1 |
| ln x | 1/x | x > 0 |
| loga x | 1/(x · ln a) | a > 0, a ≠ 1, x > 0 |
| sin x | cos x | x in radianti |
| cos x | −sin x | |
| tan x | 1/cos2 x = 1 + tan2 x | x ≠ π/2 + kπ |
| arcsin x | 1/√(1−x2) | |x| < 1 |
| arccos x | −1/√(1−x2) | |x| < 1 |
| arctan x | 1/(1+x2) | x ∈ ℝ |
Schema — Tecniche di integrazione
| Tecnica | Quando usarla | Formula / Idea chiave |
|---|---|---|
| Integrazione immediata | La funzione è una primitiva standard (tabella) | ∫ xn dx = xn+1/(n+1) + C, ecc. |
| Sostituzione | Si riconosce f(g(x))·g'(x): si pone t = g(x) | ∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(t) dt con t = g(x) |
| Per parti | Prodotto di polinomio × (esponenziale, trig, log) | ∫ u dv = uv − ∫ v du |
| Funzioni razionali | Integrale di P(x)/Q(x) | Decomponi Q(x) in fattori lineari/quadratici irriducibili, poi integra termine a termine |
| Sostituzioni speciali | Casi non riconducibili alle tecniche standard (es. radicali) | Sostituzione mirata per ricondurre a una forma nota |
Schema — Algebra lineare: dal sistema al determinante
| Strumento | A cosa serve |
|---|---|
| Rango di una matrice | Determina il numero di soluzioni di un sistema lineare (Rouché-Capelli) |
| Eliminazione di Gauss | Algoritmo per ridurre un sistema a forma triangolare e risolverlo passo passo |
| Determinante | Verifica se una matrice è invertibile (det ≠ 0) e permette la regola di Cramer |
| Matrice inversa | Risolve Ax = b come x = A⁻¹b, se A è quadrata e invertibile |
Come la studiano
Le strategie più condivise da chi ha già sostenuto Analisi Matematica:
- Seguire le unità in ordine stretto. Analisi Matematica è cumulativa: senza i limiti non si capiscono le derivate, senza le derivate non si fa lo studio di funzione, senza lo studio di funzione gli integrali diventano meccanici senza comprensione. Saltare unità per accelerare è controproducente.
- Trattare l'algebra lineare come un blocco a sé. Le ultime 18 unità (vettori, sistemi, matrici, determinanti) non richiedono le derivate o gli integrali visti prima: chi fatica con l'analisi classica può comunque partire in parallelo con questo blocco, che ha una logica più algoritmica e meno "cumulativa".
- Esercizi prima delle formule. Memorizzare le formule da una lista funziona meno bene che ricavarle risolvendo esercizi. Chi ha risolto almeno 10 integrali per parti ricorda la formula automaticamente — vale anche per l'eliminazione di Gauss.
- Costruire un foglio di formule personalizzato. Tenere un foglio A4 con le derivate fondamentali, le primitive, i limiti notevoli e i passaggi dell'eliminazione di Gauss — da aggiornare man mano che si avanza nel programma.
- I quiz di autovalutazione come test di gaps. Ogni unità ha quiz di autoverifica sulla piattaforma. Usarli non per valutarsi ma per identificare i concetti su cui tornare.
Domande dalla community
- Analisi Matematica è più difficile delle altre materie del 1° anno?
- Sì, è quella che richiede più tempo. Fisica (12 CFU) ha un carico simile, ma Analisi somma due parti diverse — l'analisi classica e l'algebra lineare — che vanno entrambe padroneggiate. Chi ha già dato l'esame segnala che Analisi è quello che "blocca" di più nel 1° anno se non si studia con metodo fin dall'inizio.
- Il programma include davvero l'algebra lineare?
- Sì, ed è un dettaglio spesso sottovalutato guardando solo il nome della materia. Le unità 43-60 (quasi un terzo del programma) coprono vettori, spazi vettoriali, sistemi lineari, matrici e determinanti. Non ci sono invece equazioni differenziali nel programma ufficiale.
- Posso dare prima Fisica e poi Analisi?
- Formalmente sì, non ci sono propedeuticità obbligatorie indicate nel piano. Tuttavia Fisica usa limiti e derivate fin dall'inizio (cinematica, derivata della posizione → velocità). Chi affronta prima Analisi trova Fisica più semplice.
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Con 60 unità didattiche da circa 30 minuti ciascuna, il solo carico di visione è circa 25-30 ore. Considerando lo studio attivo (esercizi, schemi, ripasso), secondo gli studenti che l'hanno già sostenuta servono 6-8 settimane per chi parte senza basi di analisi, 4-5 settimane per chi ha già fatto un corso di calcolo. Il blocco di algebra lineare finale, pur essendo un terzo del programma, richiede in genere meno tempo relativo perché meno concettualmente cumulativo — molti studenti lo comprimono in 1-2 settimane una volta acquisita familiarità con Gauss e i determinanti.
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Questa materia ti prepara a…
Analisi Matematica I è la base di buona parte del curriculum tecnico L9:
- Analisi Matematica II (MAT/05, 9 CFU, 2° anno) — funzioni di più variabili e calcolo vettoriale avanzato
- Fisica (FIS/01, 12 CFU, 1° anno) — la cinematica usa derivate della posizione; la termodinamica usa integrali
- Ricerca Operativa (MAT/09, 9 CFU, 2° anno) — la programmazione lineare usa direttamente sistemi lineari, matrici e vettori appresi qui
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Domande frequenti
12 CFU (MAT/05, codice 0092512MAT05). È al 1° anno del piano di studi ed è presente in tutti i piani (2024/2025, 2025/2026, 2026/2027) con lo stesso codice.
Sì. Le ultime 18 delle 60 unità didattiche (dalla 43 alla 60) coprono vettori, spazi vettoriali, sistemi lineari, matrici e determinanti — non equazioni differenziali, contrariamente a quanto si potrebbe pensare guardando solo il nome della materia.
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È la materia più impegnativa del 1° anno per quantità e varietà di contenuti — analisi classica più algebra lineare. Con metodo (seguire le unità in ordine, fare esercizi) si riesce a darla entro 4-8 settimane di studio attivo.
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