In questa guida
Analisi Matematica è la prima materia tecnica che incontri nel percorso L9 Ingegneria Gestionale Mercatorum. Con 12 CFU e 60 unità didattiche, è anche quella con il carico di contenuti più alto del 1° anno: successioni, limiti, derivate, integrali, serie e equazioni differenziali. Questa guida raccoglie il programma completo, i codici corso per tutti i piani di studio e le strategie che funzionano dalla community.
Programma: 60 unità didattiche
Analisi Matematica (MAT/05) ha 60 unità didattiche, distribuite in blocchi tematici progressivi. Il programma segue la struttura classica del corso di analisi per ingegneria: si parte da numeri reali e successioni, si sviluppa il calcolo differenziale e integrale in una variabile, si introducono serie e si chiude con le equazioni differenziali.
Obiettivi formativi
Al termine del corso lo studente è in grado di: padroneggiare il calcolo dei limiti di funzioni reali; applicare le tecniche di derivazione per lo studio della monotonia e dei punti critici di una funzione; calcolare integrali definiti e indefiniti con i principali metodi (sostituzione, per parti, frazioni parziali); verificare la convergenza di serie numeriche con i criteri fondamentali; risolvere equazioni differenziali ordinarie del primo e secondo ordine a coefficienti costanti.
Codici corso (tutti i piani di studio)
Il codice di Analisi Matematica è invariato in tutti i piani di studio L9 Mercatorum dal 2024/2025 al 2026/2027:
Codici Analisi Matematica — L9 Ingegneria Gestionale Mercatorum
| Piano A.A. | Nome nel piano | CFU | Codice | Anno |
|---|---|---|---|---|
| 2024/2025 | Analisi Matematica I | 12 | 0092512MAT05 | 1° |
| 2025/2026 | Analisi Matematica I | 12 | 0092512MAT05 | 1° |
| 2026/2027 | Analisi Matematica I | 12 | 0092512MAT05 | 1° |
Il piano prevede anche Analisi Matematica II (MAT/05, 9 CFU, cod. 0092509MAT05) al 2° anno — un corso separato che approfondisce le funzioni di più variabili e il calcolo vettoriale.
Blocchi tematici
Il programma di Analisi Matematica L9 Mercatorum si articola in sette blocchi tematici, ognuno costruito sul precedente:
1. Numeri reali e successioni
Assiomi dei numeri reali, insiemi numerici, maggiorante e minorante, estremo superiore e inferiore. Successioni reali: definizione, monotonia, limitatezza. Limiti di successioni, teoremi fondamentali (unicità, confronto, permanenza del segno), forme indeterminate nelle successioni. Il numero e come limite di successione.
2. Limiti di funzioni reali
Topologia della retta reale: intorni, punti di accumulazione. Definizione formale di limite (epsilon-delta). Teoremi sui limiti (algebra dei limiti, confronto, sostituzione). Limiti notevoli: sin(x)/x → 1, (1+1/n)^n → e, ln(1+x)/x → 1. Forme indeterminate 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0.
3. Continuità e teoremi fondamentali
Continuità di una funzione in un punto e in un intervallo. Classificazione delle discontinuità (prima e seconda specie, eliminabile). Teorema degli zeri (Bolzano), teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi.
4. Calcolo differenziale
Definizione di derivata come limite del rapporto incrementale. Significato geometrico (retta tangente). Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzione composta, funzione inversa. Derivate di ordine superiore. Teoremi: Fermat (punti stazionari), Rolle, Lagrange (valor medio), Cauchy, de L'Hôpital. Studio completo di funzione: dominio, intersezioni, segno, derivate, monotonia, concavità, asintoti, grafico.
5. Calcolo integrale in una variabile
Integrale definito secondo Riemann: somme di Cauchy-Riemann, integrabilità, proprietà. Teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow). Primitiva e integrale indefinito. Metodi di integrazione: integrazione immediata, sostituzione, per parti, frazioni parziali razionali. Integrali impropri e loro convergenza.
6. Serie numeriche
Definizione di serie come limite della successione delle somme parziali. Condizione necessaria di convergenza. Serie geometrica e serie armonica come casi fondamentali. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, confronto asintotico, rapporto (D'Alembert), radice (Cauchy), integrale. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz. Convergenza assoluta.
7. Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali del 1° ordine: a variabili separabili, lineari del 1° ordine (formula della variazione della costante), equazioni di Bernoulli. Equazioni del 2° ordine lineari a coefficienti costanti: soluzione dell'omogenea (caratteristica), metodo della variazione delle costanti e metodo degli annientatori per la particolare. Problema di Cauchy.
Schema — Tabella derivate fondamentali
| Funzione f(x) | Derivata f'(x) | Note |
|---|---|---|
| xn | n · xn−1 | n ∈ ℝ (potenza) |
| ex | ex | l'unica funzione uguale alla sua derivata |
| ax | ax · ln a | a > 0, a ≠ 1 |
| ln x | 1/x | x > 0 |
| loga x | 1/(x · ln a) | a > 0, a ≠ 1, x > 0 |
| sin x | cos x | x in radianti |
| cos x | −sin x | |
| tan x | 1/cos2 x = 1 + tan2 x | x ≠ π/2 + kπ |
| arcsin x | 1/√(1−x2) | |x| < 1 |
| arccos x | −1/√(1−x2) | |x| < 1 |
| arctan x | 1/(1+x2) | x ∈ ℝ |
| sinh x | cosh x | funzione iperbolica |
| cosh x | sinh x | funzione iperbolica |
Schema — Tecniche di integrazione
| Tecnica | Quando usarla | Formula / Idea chiave |
|---|---|---|
| Integrazione immediata | La funzione è una primitiva standard (tabella) | ∫ xn dx = xn+1/(n+1) + C, ecc. |
| Sostituzione | Si riconosce f(g(x))·g'(x): si pone t = g(x) | ∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(t) dt con t = g(x) |
| Per parti | Prodotto di polinomio × (esponenziale, trig, log) | ∫ u dv = uv − ∫ v du |
| Frazioni parziali | Integrale di funzione razionale P(x)/Q(x) | Decomponi Q(x) in fattori lineari/quadratici irriducibili, poi integra termine a termine |
| Sostituzione trig | Radicali del tipo √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) | Poni rispettivamente x = a·sin t, x = a·tan t, x = a/cos t |
Come la studiano
Dalla community L9 Mercatorum, le strategie che emergono di più per Analisi Matematica:
- Seguire le unità in ordine stretto. Analisi Matematica è cumulativa: senza i limiti non si capiscono le derivate, senza le derivate non si fa lo studio di funzione, senza lo studio di funzione gli integrali diventano meccanici senza comprensione. Saltare unità per accelerare è controproducente.
- Esercizi prima delle formule. Memorizzare le formule da una lista funziona meno bene che ricavarle risolvendo esercizi. Chi ha risolto almeno 10 integrali per parti ricorda la formula automaticamente.
- Costruire un foglio di formule personalizzato. Tenere un foglio A4 con le derivate fondamentali, le primitive, i limiti notevoli e i criteri di convergenza — da aggiornare man mano che si avanza nel programma. È utile anche durante l'esame se consentito dalla piattaforma.
- I quiz di autovalutazione come test di gaps. Ogni unità ha quiz di autoverifica sulla piattaforma. Usarli non per valutarsi ma per identificare i concetti su cui tornare.
- EDO alla fine, ma non trascurarle. Le equazioni differenziali arrivano per ultime ma compaiono spesso nelle domande di esame. Meritano almeno una settimana dedicata.
Domande dalla community
- Analisi Matematica è più difficile delle altre materie del 1° anno?
- Sì, è quella che richiede più tempo. Fisica (12 CFU) ha un carico simile, ma i concetti di analisi sono più astratti e richiedono una comprensione formale che le altre materie non richiedono. Dalla community L9: molti segnalano che Analisi è l'esame che "blocca" di più nel 1° anno se non si studia con metodo fin dall'inizio.
- Posso dare prima Fisica e poi Analisi?
- Formalmente sì, non ci sono propedeuticità obbligatorie indicate nel piano. Tuttavia Fisica usa limiti e derivate fin dall'inizio (cinematica, derivata della posizione → velocità). Chi affronta prima Analisi trova Fisica più semplice. Se si studia in parallelo, conviene iniziare entrambe contemporaneamente ma dare prima quella in cui ci si sente più pronti.
- Analisi II è più difficile di Analisi I?
- Dipende dal background. Chi ha capito bene Analisi I (in particolare integrali e serie) trova Analisi II gestibile. Il salto principale è nelle funzioni di più variabili: il concetto di gradiente e Hessiano non ha un analogo semplice in una variabile. Dalla community: chi ha dato Analisi I con voto alto tende a trovare Analisi II meno ostica di quanto si aspettasse.
Come funziona l'esame
Come tutti gli esami Pegaso, Mercatorum e San Raffaele dal 2026: prova intermedia online (Lockdown Browser, da casa) seguita da prova finale obbligatoria in presenza per verbalizzare il voto definitivo.
Le modalità cambiano frequentemente: numero di domande, sessioni in presenza, punti premialità, tablet vs orale. Trovi tutto spiegato nella guida completa, sempre aggiornata:
Come funzionano gli esami Pegaso, Mercatorum e San Raffaele →Quanto tempo serve
Con 60 unità didattiche da circa 20-30 minuti ciascuna, il solo carico di visione è circa 20-30 ore. Considerando lo studio attivo (esercizi, schemi, ripasso), la stima dalla community è 6-8 settimane per chi parte senza basi di analisi, 4-5 settimane per chi ha già fatto un corso di calcolo. Chi studia a tempo pieno (4-6 ore al giorno) può comprimere questi tempi.
Questa materia ti prepara a…
Analisi Matematica I è la base di buona parte del curriculum tecnico L9:
- Analisi Matematica II (MAT/05, 9 CFU, 2° anno) — funzioni di più variabili, ottimizzazione con vincoli, equazioni alle derivate parziali
- Fisica (FIS/01, 12 CFU, 1° anno) — la cinematica usa derivate della posizione; la termodinamica usa integrali
- Ricerca Operativa (MAT/09, 9 CFU, 2° anno) — la programmazione lineare e l'ottimizzazione usano concetti di gradiente e dualità
- Probabilità e Statistica (MAT/06, 2° anno) — variabili aleatorie, distribuzioni, funzioni caratteristiche: tutto si descrive con integrali
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Community L9 Ingegneria Gestionale Mercatorum: confrontati su esercizi, limiti notevoli, tecniche di integrazione.
Domande frequenti
Quanti CFU vale Analisi Matematica L9 Mercatorum?
12 CFU (MAT/05, codice 0092512MAT05). È al 1° anno del piano di studi ed è presente in tutti i piani (2024/2025, 2025/2026, 2026/2027) con lo stesso codice.
Come funziona l'esame Analisi Matematica Mercatorum?
Online sulla piattaforma Mercatorum, domande a risposta multipla. Verifica sempre le istruzioni aggiornate nella tua bacheca.
Quante videolezioni ha Analisi Matematica L9 Mercatorum?
60 unità didattiche (12 CFU × 5 per CFU). Ogni unità dura mediamente 20-30 minuti per un totale di circa 20-30 ore di visione.
È difficile Analisi Matematica Mercatorum ingegneria gestionale?
È la materia più impegnativa del 1° anno per quantità di contenuti. Con metodo (seguire le unità in ordine, fare esercizi) si riesce a darla entro 4-8 settimane di studio attivo.
Da cosa si studia Analisi Matematica Mercatorum?
Le dispense e videolezioni sulla piattaforma coprono l'intero programma. Costruisci un foglio di formule personale (derivate, primitive, limiti notevoli, criteri di convergenza) e usalo come guida durante il ripasso.
Quanto tempo serve per preparare Analisi Matematica L9 Mercatorum?
4-5 settimane con base matematica, 6-8 settimane partendo da zero. Il carico di visione puro è 20-30 ore; lo studio attivo (esercizi + ripasso) almeno altrettanto.