In questa guida
Ricerca Operativa è la materia più discussa del 2° anno di Ingegneria Gestionale Mercatorum. Con 9 CFU e un approccio matematico-algoritmico, affronta il problema fondamentale dell'ingegneria gestionale: come ottimizzare l'allocazione di risorse scarse. Il programma copre la programmazione lineare (incluso il metodo del simplesso), la teoria della dualità, la programmazione lineare intera e l'ottimizzazione su grafi.
Programma: 45 unità didattiche
Ricerca Operativa (MAT/09) ha 45 unità didattiche distribuite in cinque blocchi: modellazione di problemi di ottimizzazione, programmazione lineare continua, dualità, programmazione lineare intera, ottimizzazione combinatoria su grafi.
Obiettivi formativi
Al termine del corso lo studente è in grado di: formulare problemi decisionali aziendali come programmi lineari (PL); applicare il metodo del simplesso per risolvere un PL in forma standard; interpretare la soluzione duale e l'analisi di sensitività; applicare il metodo branch and bound per problemi di PL intera; modellare problemi di flusso su grafi e applicare algoritmi di cammino minimo (Dijkstra) e di flusso massimo.
Codici corso (tutti i piani di studio)
Il codice di Ricerca Operativa è invariato in tutti i piani L9 Mercatorum:
Codici Ricerca Operativa — L9 Ingegneria Gestionale Mercatorum
| Piano A.A. | Nome nel piano | CFU | Codice | Anno |
|---|---|---|---|---|
| 2024/2025 | Ricerca Operativa | 9 | 0092509MAT09 | 2° |
| 2025/2026 | Ricerca Operativa | 9 | 0092509MAT09 | 2° |
| 2026/2027 | Ricerca Operativa | 9 | 0092509MAT09 | 2° |
Blocchi tematici
1. Introduzione e modellazione
Cos'è la Ricerca Operativa: storia, campo di applicazione, relazione con l'ingegneria gestionale. Fasi del processo di ottimizzazione: identificazione del problema, costruzione del modello, soluzione, validazione, implementazione. Variabili decisionali, funzione obiettivo (minimizzazione o massimizzazione), vincoli. Classificazione dei modelli: lineari vs non lineari, continui vs interi, deterministici vs stocastici.
2. Programmazione lineare (PL)
Formulazione matematica di un problema di PL: variabili decisionali, funzione obiettivo lineare, vincoli lineari di disuguaglianza e uguaglianza, vincoli di non negatività. Forma standard: introduzione delle variabili di scarto (slack). Geometria della PL: regione ammissibile (poliedro convesso), vertici, teorema fondamentale (l'ottimo si trova in un vertice). Soluzione grafica per problemi in due variabili: luogo geometrico ottimale. Casi speciali: soluzione illimitata, infeasibility, soluzioni ottimali multiple.
3. Metodo del simplesso
Soluzione di base ammissibile (SBA): variabili di base e fuori base. Tableau del simplesso: struttura, colonne delle variabili, colonna dei termini noti. Regola di entrata della variabile (costi ridotti): scelta della variabile con coefficiente più negativo nella riga dell'obiettivo (metodo standard). Regola di uscita della variabile (rapporto minimo). Operazioni di pivot: aggiornamento del tableau. Criterio di ottimalità. Degenerazione e ciclaggio: regola di Bland. Complessità pratica del simplesso. Esempio numerico completo passo dopo passo.
4. Teoria della dualità
Problema duale di un problema primale: costruzione sistematica. Teorema della dualità debole e forte. Complementarietà degli scarti (slackness conditions). Interpretazione economica del duale: prezzi ombra (shadow prices). Analisi di sensitività: range di variazione dei coefficienti dell'obiettivo e dei termini noti entro cui la soluzione ottimale rimane invariata. Prezzo ombra come costo marginale di una risorsa.
5. Programmazione lineare intera (PLI)
Motivazione: variabili intere nelle decisioni reali (acquistare o no, numero di turni, ecc.). Differenza tra PL continua e PL intera: il rilassamento LP. Perché non basta arrotondare la soluzione continua. Metodo branch and bound: splitting su una variabile intera, albero delle decisioni, bounding con il valore del rilassamento, pruning. Problemi binari: variabili 0-1, applicazioni (knapsack, set covering, assegnazione). Complessità NP-hard della PLI in generale.
6. Ottimizzazione su grafi
Ripasso di teoria dei grafi: nodi, archi, grafi orientati e non orientati, cammini, cicli, connessione. Albero di copertura minimo (spanning tree): algoritmo di Kruskal (archi in ordine crescente, unione di componenti) e algoritmo di Prim (espansione dal nodo iniziale). Cammino minimo: algoritmo di Dijkstra (grafi pesati con pesi non negativi), algoritmo di Bellman-Ford (pesi negativi ammessi). Problema di flusso massimo: rete di trasporto, capacità, flusso ammissibile, teorema max-flow min-cut, algoritmo di Ford-Fulkerson. Problema di trasporto: formulazione come PL, metodo delle celle di Vogel per una soluzione iniziale.
Schema — Formulazione tipo di un problema di PL
| Elemento | Descrizione | Esempio (mix produttivo) |
|---|---|---|
| Variabili decisionali | Ciò che devo decidere (quantità, assegnazioni, …) | x₁ = unità di prodotto A, x₂ = unità di prodotto B |
| Funzione obiettivo | Grandezza da massimizzare o minimizzare | max z = 5x₁ + 4x₂ (profitto totale) |
| Vincoli di risorsa | Limiti sulle risorse disponibili | 6x₁ + 4x₂ ≤ 24 (ore macchina); 1x₁ + 2x₂ ≤ 6 (ore lavoro) |
| Vincoli di non negatività | Le variabili non possono essere negative | x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 |
| Forma standard | Aggiunta di variabili di scarto per trasformare ≤ in = | 6x₁ + 4x₂ + s₁ = 24; x₁ + 2x₂ + s₂ = 6; s₁, s₂ ≥ 0 |
Schema — Passi del metodo del simplesso
| Passo | Azione | Come si fa |
|---|---|---|
| 1 | Porta in forma standard | Aggiungi variabili di scarto (s₁, s₂, …) per ogni vincolo ≤; le variabili di scarto sono la base iniziale |
| 2 | Costruisci il tableau iniziale | Righe = vincoli (+ riga obiettivo); colonne = variabili (originali + scarto + b). La base iniziale è formata dalle variabili di scarto (matrice identità) |
| 3 | Test di ottimalità | Guarda la riga dell'obiettivo (costi ridotti): se tutti i coefficienti delle variabili non di base sono ≥ 0 (per max con riga obiettivo negata) → ottimo raggiunto |
| 4 | Scelta variabile entrante | Seleziona la colonna con il costo ridotto più negativo (regola standard) oppure il primo negativo da sinistra (regola di Bland anti-ciclaggio) |
| 5 | Scelta variabile uscente | Calcola il rapporto b_i / a_ij per ogni riga con a_ij > 0; scegli la riga con il rapporto minimo (test del rapporto minimo) |
| 6 | Pivot | Dividi la riga pivot per l'elemento pivot; aggiorna le altre righe sottraendo multipli opportuni per azzerare la colonna della variabile entrante |
| 7 | Torna al passo 3 | Ripeti fino all'ottimalità o a individuare un problema illimitato (nessun rapporto positivo nella colonna entrante) |
Come la studiano
Dalla community L9 Mercatorum, le strategie più citate per Ricerca Operativa:
- Fare molti esercizi di simplesso a mano. Il simplesso non si capisce leggendo — si impara eseguendo i pivot sul tableau. Chi ha fatto almeno 10 esercizi completi a mano (costruzione del tableau, iterazioni, test di ottimalità) lo trova automatico all'esame. Chi lo ha studiato solo sulla teoria si blocca.
- Imparare prima la formulazione, poi il simplesso. Molte domande riguardano la formulazione del problema (identificare variabili, scrivere i vincoli) più che l'esecuzione del simplesso. Saper tradurre un problema testuale in un modello PL è fondamentale.
- I prezzi ombra sono facili da capire economicamente. L'interpretazione economica della dualità (quanto vale aggiungere un'unità di risorsa) è spesso più intuitiva del formalismo matematico. Capire il significato prima di memorizzare le formule aiuta molto.
- Grafi: ripassare Informatica. Gli algoritmi su grafi (Dijkstra, Kruskal) sono già stati introdotti in Informatica. Chi ha dato Informatica trova questi blocchi molto più veloci.
- Branch and bound: capire l'albero, non memorizzare i passi. Il metodo branch and bound è più intuitivo se si capisce la logica (esploro le possibilità, taglio i rami peggiori del limite superiore) che non se si cerca di memorizzare una procedura meccanica.
Domande dalla community
- Ricerca Operativa è la materia più difficile del 2° anno?
- Per molti studenti sì, insieme ad Analisi Matematica II. La combinazione di comprensione teorica (dualità, branch and bound) e abilità algoritmica (simplesso sul tableau) la rende più impegnativa delle materie gestionali. Dalla community L9: è la materia del 2° anno con più messaggi di confronto su esercizi specifici.
- Bisogna aver dato Analisi Matematica I prima di Ricerca Operativa?
- Non ci sono propedeuticità formali obbligatorie, ma Ricerca Operativa usa concetti di ottimizzazione (funzioni, derivate, gradiente per problemi non lineari) che presuppongono Analisi I. La programmazione lineare in sé usa solo algebra lineare, ma la comprensione profonda del simplesso e della dualità è più solida con l'analisi già data.
- L'esame di Ricerca Operativa include esercizi numerici completi?
- Sì. Le domande a risposta multipla possono includere la richiesta di identificare la variabile entrante in un dato tableau, calcolare il rapporto minimo per la variabile uscente, o leggere il valore ottimale da un tableau già risolto. Non si esegue un simplesso completo in una singola domanda, ma si testano i singoli passi dell'algoritmo. Fare esercizi completi aiuta a rispondere correttamente ai passi singoli.
Come funziona l'esame
Come tutti gli esami Pegaso, Mercatorum e San Raffaele dal 2026: prova intermedia online (Lockdown Browser, da casa) seguita da prova finale obbligatoria in presenza per verbalizzare il voto definitivo.
Le modalità cambiano frequentemente: numero di domande, sessioni in presenza, punti premialità, tablet vs orale. Trovi tutto spiegato nella guida completa, sempre aggiornata:
Come funzionano gli esami Pegaso, Mercatorum e San Raffaele →Quanto tempo serve
Con 45 unità didattiche, il carico di visione è circa 15-22 ore. Considerando lo studio attivo (esercizi di simplesso, branch and bound, algoritmi su grafi), la stima è 4-6 settimane. La programmazione lineare e il simplesso richiedono il tempo maggiore perché si impara facendo, non leggendo. Chi ha già dato Analisi I e Informatica trova i blocchi su grafi e dualità più veloci.
Questa materia ti prepara a…
- Logistica e Supply Chain (materie avanzate del percorso L9) — i problemi di trasporto, localizzazione e scheduling usano direttamente modelli di PL e PLI
- Gestione della Produzione — la pianificazione della produzione (MPS, MRP) si modella con PL intera
- Analisi delle Decisioni — la teoria della dualità e i prezzi ombra sono alla base dell'analisi economica delle decisioni di investimento in risorse
- Analisi Matematica — la comprensione dell'ottimizzazione vincolata (che in RO è lineare) prepara ai metodi di ottimizzazione non lineare (Lagrangiani, KKT) delle materie magistrali
Studia con chi sta preparando Ricerca Operativa ora
Community L9 Ingegneria Gestionale Mercatorum: simplesso, branch and bound, esercizi di grafi.
Domande frequenti
Quanti CFU vale Ricerca Operativa L9 Mercatorum?
9 CFU (MAT/09, codice 0092509MAT09). È al 2° anno del piano di studi, presente in tutti i piani (2024/2025, 2025/2026, 2026/2027) con lo stesso codice.
Come funziona l'esame Ricerca Operativa Mercatorum?
Online sulla piattaforma Mercatorum, domande a risposta multipla. Alcune domande testano i singoli passi del simplesso.
Quante videolezioni ha Ricerca Operativa L9 Mercatorum?
45 unità didattiche (9 CFU × 5 per CFU). Circa 15-22 ore di visione totale.
È difficile Ricerca Operativa Mercatorum?
È la materia più discussa del 2° anno. Richiede sia comprensione teorica (dualità, branch and bound) che abilità algoritmica (simplesso sul tableau). Con molti esercizi pratici si supera in 4-6 settimane.
Bisogna aver dato Analisi I per Ricerca Operativa?
Non è una propedeuticità formale, ma è fortemente consigliata. La PL usa algebra lineare, ma la comprensione profonda di dualità e ottimizzazione è più solida con Analisi I già data.
Quanto tempo serve per Ricerca Operativa L9 Mercatorum?
4-6 settimane di studio attivo. Il simplesso si impara facendo esercizi, non leggendo. Chi ha già dato Informatica trova i blocchi su grafi più veloci.