Fondamenti di Matematica e Statistica L26 San Raffaele

Fondamenti di matematica e statistica è l'esame di matematica del primo anno di L26 San Raffaele: 6 CFU che mettono insieme, in un solo corso, la matematica di base, i primi strumenti dell'analisi — limiti, derivate, integrali — e la statistica descrittiva. Non è un corso per matematici: il programma ufficiale lo presenta come la cassetta degli attrezzi per leggere dati, misure e risultati sperimentali nelle materie scientifiche degli anni successivi, dalla fisica all'analisi degli alimenti. Se non tocchi la matematica dalle superiori, la cosa più utile da sapere è che l'analisi e la statistica si costruiscono da zero durante il corso; quello che dà per scontato è il calcolo di base.

Di cosa parla il programma

Il programma ufficiale (cod. 0262206MAT05) è diviso in cinque unità didattiche. Le prime quattro sono di matematica e seguono una progressione precisa — dagli strumenti di calcolo alle funzioni, dalle funzioni ai limiti, dai limiti a derivate e integrali — mentre la quinta è dedicata alla statistica descrittiva e alla misura. Nell'elenco delle lezioni pubblicato in scheda, 10 titoli su 32 (introduzione esclusa) sono esercitazioni: il corso è pensato per essere studiato con carta e penna.

Argomenti del programma da approfondire

Gli argomenti seguono l'ordine delle unità didattiche, che in questa materia coincide con l'ordine logico: ogni unità usa gli strumenti di quella precedente. Una lacuna sulle potenze diventa un problema con gli esponenziali, una lacuna sulle funzioni diventa un problema con i limiti, e senza limiti la derivata resta una formula da ricordare invece che un concetto. La statistica, nell'ultima unità, è la parte più autonoma.

Insiemi e operazioni

Il corso parte dal linguaggio con cui si scrive tutta la matematica successiva. Un insieme è una collezione di oggetti ben definiti, i suoi elementi: si può descrivere elencandoli (A = {1, 2, 3}) o con una proprietà (A = {x ∈ ℕ : x < 4}). B è un sottoinsieme di A (B ⊆ A) se ogni elemento di B appartiene anche ad A; l'insieme vuoto ∅ non ha elementi ed è sottoinsieme di qualunque insieme.

Le operazioni tra insiemi sono quattro: l'unione A ∪ B (gli elementi che stanno in almeno uno dei due), l'intersezione A ∩ B (quelli comuni a entrambi), la differenza A \ B (quelli di A che non stanno in B) e il complementare di A rispetto a un insieme universo. Si visualizzano con i diagrammi di Eulero-Venn. Un esempio dal corso di laurea: se A sono gli alimenti che contengono glutine e B quelli che contengono lattosio, A ∩ B sono quelli da evitare per chi ha entrambe le intolleranze, A ∪ B quelli da evitare per chi ne ha almeno una. Tra le relazioni fra insiemi c'è anche il prodotto cartesiano A × B, l'insieme delle coppie ordinate (a, b): è l'idea da cui nasce il piano cartesiano.

Collegamento: gli insiemi più usati in tutto il corso sono quelli dei numeri, che si costruiscono uno dentro l'altro.

Gli insiemi numerici

I naturali ℕ = {0, 1, 2, …} servono a contare, ma non sono chiusi rispetto alla sottrazione (3 − 5 non è un naturale): per questo si passa agli interi ℤ, con i numeri negativi. Gli interi non sono chiusi rispetto alla divisione, e nascono i razionali ℚ, le frazioni, che in forma decimale sono numeri finiti o periodici. Nemmeno i razionali bastano: √2, la diagonale di un quadrato di lato 1, o π non si possono scrivere come frazione. Aggiungendo questi irrazionali si ottengono i reali ℝ, che corrispondono ai punti di una retta. Vale la catena ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Sottoinsiemi di ℝ ricorrono continuamente sotto forma di intervalli: [a, b] include gli estremi, (a, b) li esclude, [a, +∞) indica tutti i numeri da a in su. È la notazione con cui si scriveranno domini, soluzioni di disequazioni e intervalli di crescita.

Collegamento: con i razionali si può confrontare una quantità con un'altra. È il terreno di rapporti, proporzioni e percentuali.

Rapporti, proporzioni e percentuali

Un rapporto è il quoziente tra due grandezze; una proporzione è l'uguaglianza tra due rapporti, a : b = c : d, e la sua proprietà fondamentale è che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (b · c = a · d). È lo strumento con cui si risolvono i problemi "del tre semplice": se 100 g di un prodotto contengono 12 g di zuccheri, una porzione da 30 g ne contiene x, con 100 : 12 = 30 : x, cioè x = 3,6 g.

Una percentuale è un rapporto con denominatore 100. Tre punti fanno spesso sbagliare. Primo, le variazioni percentuali si calcolano sul valore di partenza: da 20 a 25 è un aumento del 25%, non del 5%. Secondo, le variazioni successive non si sommano: un aumento del 20% seguito da una diminuzione del 20% porta 100 a 96, non a 100, perché la seconda percentuale si applica a un valore già cambiato (100 × 1,2 × 0,8 = 96). Terzo, punti percentuali e percentuali sono cose diverse: se una quota passa dal 10% al 12%, cresce di 2 punti percentuali, ma del 20% in termini relativi.

Collegamento: moltiplicare più volte per lo stesso fattore, come nelle variazioni percentuali successive, porta direttamente alle potenze.

Potenze, logaritmi e notazione scientifica

Le proprietà delle potenze vanno sapute senza esitazioni perché servono ovunque, dagli esponenziali alle derivate: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ, aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ, (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ, a⁰ = 1 (con a ≠ 0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ, e le potenze con esponente frazionario sono radici (a^1/2 = √a).

Il logaritmo è l'operazione inversa: log_a b = c significa che aᶜ = b, cioè il logaritmo è l'esponente da dare alla base a per ottenere b (con a > 0, a ≠ 1 e b > 0). Dalle proprietà delle potenze derivano quelle dei logaritmi: il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi, quello di un quoziente la differenza, log(bⁿ) = n · log b. Le basi più usate sono 10 (logaritmo decimale) ed e ≈ 2,718 (logaritmo naturale, ln). Un'applicazione che ritroverai in chimica è il pH, definito come −log₁₀ della concentrazione di ioni idrogeno: passare da pH 4 a pH 3 significa una concentrazione dieci volte maggiore.

La notazione scientifica scrive un numero come un coefficiente tra 1 e 10 moltiplicato per una potenza di 10: 0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴, 3.200.000 = 3,2 × 10⁶. Serve a maneggiare numeri molto grandi o molto piccoli e a stimare l'ordine di grandezza di un risultato, uno dei controlli di coerenza che il programma chiede esplicitamente.

Collegamento: prima delle funzioni, alcune lezioni riprendono gli strumenti delle superiori che il corso userà senza rispiegarli.

Ripasso: equazioni e geometria

Le lezioni sugli strumenti di base, gli angoli e i richiami di geometria riprendono i prerequisiti dichiarati nella scheda. Un'equazione di primo grado ax + b = 0 ha soluzione x = −b/a (se a ≠ 0). Un'equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 si risolve con la formula x = (−b ± √Δ) / 2a, dove il discriminante Δ = b² − 4ac decide quante soluzioni reali ci sono: due se Δ > 0, una (doppia) se Δ = 0, nessuna se Δ < 0. Servono per trovare gli zeri delle funzioni e, più avanti, i punti in cui si annulla la derivata.

Dalla geometria servono soprattutto il teorema di Pitagora, che serve nel calcolo della distanza tra due punti e del modulo di un vettore, e gli angoli, misurati in gradi o in radianti: un angolo giro vale 360° oppure 2π radianti, quindi π radianti corrispondono a 180°. Le funzioni trigonometriche si studiano in radianti.

Collegamento: con gli strumenti di calcolo in ordine, la seconda unità passa a rappresentare le relazioni tra grandezze.

Piano cartesiano: dalla tabella al grafico

Il piano cartesiano è formato da due rette perpendicolari, l'asse x delle ascisse e l'asse y delle ordinate; ogni punto è individuato da una coppia ordinata (x, y) — il prodotto cartesiano ℝ × ℝ visto sopra. Gli assi dividono il piano in quattro quadranti, e la distanza tra due punti si ottiene con Pitagora: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].

Il programma insiste sul passaggio dalla tabella al grafico. In un esperimento si distinguono la variabile indipendente, quella che si fissa o si osserva scorrere (il tempo, la dose), e la variabile dipendente, quella che si misura (la temperatura, il peso). Riportando ogni riga della tabella come punto (x, y), la forma della nuvola di punti dice subito che tipo di relazione c'è: una retta, una curva che sale sempre più in fretta, una che si appiattisce.

Collegamento: le due relazioni più semplici che si possono riconoscere in un grafico sono la proporzionalità diretta e quella inversa.

Proporzionalità diretta e inversa

Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante: y / x = k, cioè y = kx. Raddoppiando x raddoppia y, e il grafico è una retta che passa per l'origine. Sono inversamente proporzionali se è costante il loro prodotto: x · y = k, cioè y = k/x. Raddoppiando x, y si dimezza, e il grafico è un ramo di iperbole.

Collegamento: finora ogni grandezza era un numero. Alcune grandezze fisiche però hanno anche una direzione: servono i vettori.

I vettori

Una grandezza scalare è descritta da un numero (massa, temperatura, tempo); una grandezza vettoriale ha bisogno anche di una direzione e di un verso (spostamento, velocità, forza). Un vettore si rappresenta con una freccia caratterizzata da modulo (la lunghezza), direzione e verso, oppure con le sue componenti lungo gli assi: v = (vₓ, v_y). Il modulo si calcola ancora con Pitagora: il vettore (3, 4) ha modulo √(9 + 16) = 5.

Il calcolo vettoriale del programma comprende la somma (graficamente con la regola del parallelogramma o mettendo i vettori "punta-coda", algebricamente sommando le componenti), la differenza, il prodotto per uno scalare, che allunga, accorcia o inverte il vettore, e il prodotto scalare, che da due vettori restituisce un numero: a · b = aₓbₓ + a_yb_y, nullo quando i vettori sono perpendicolari. È il linguaggio che ritroverai nell'esame di Fisica, nello stesso anno.

Collegamento: la proporzionalità è solo il caso più semplice di relazione tra due variabili. Il concetto generale è quello di funzione.

Funzioni: dominio e proprietà

Una funzione f associa a ogni elemento x di un insieme, il dominio, uno e un solo valore y = f(x). Il programma parte da "definizione ed esistenza": determinare il dominio significa escludere i valori per cui l'espressione non ha senso. Le condizioni da ricordare sono tre: il denominatore deve essere diverso da zero, il radicando di una radice di indice pari deve essere maggiore o uguale a zero, l'argomento di un logaritmo deve essere strettamente positivo. Per f(x) = √(x − 2), ad esempio, il dominio è x ≥ 2.

Le caratteristiche che si studiano per ogni funzione sono le stesse che poi entrano nello studio di funzione: gli zeri (dove il grafico taglia l'asse x) e il segno, gli intervalli in cui è crescente o decrescente, i massimi e minimi, la simmetria (pari se f(−x) = f(x), grafico simmetrico rispetto all'asse y; dispari se f(−x) = −f(x), simmetrico rispetto all'origine). Un'esercitazione è dedicata alla funzione modulo |x|, che vale x per x ≥ 0 e −x per x < 0: il grafico è una "V" con il vertice nell'origine, un esempio che ritroverai con le derivate.

Collegamento: con questi strumenti si possono esaminare, una per una, le funzioni elementari, a partire dalle più semplici.

Retta, polinomi e funzioni fratte

La retta y = mx + q è la funzione più semplice: m è il coefficiente angolare, che misura la pendenza (positivo se la retta sale, negativo se scende, zero se è orizzontale), q l'intercetta, cioè il punto in cui la retta taglia l'asse y. La proporzionalità diretta è il caso q = 0.

Le funzioni polinomiali sono somme di potenze intere di x, e hanno per dominio tutto ℝ. La più studiata è la parabola y = ax² + bx + c: la concavità è verso l'alto se a > 0 e verso il basso se a < 0, il vertice ha ascissa x = −b / 2a, e gli zeri sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado. Le funzioni fratte sono quozienti di polinomi: il dominio esclude i valori che annullano il denominatore, e vicino a quei valori il grafico tende di solito a salire o scendere senza limite, formando un asintoto verticale. L'iperbole y = 1/x della proporzionalità inversa è l'esempio base.

Collegamento: nei polinomi la variabile sta alla base della potenza. Mettendola all'esponente si ottiene una famiglia di funzioni con un comportamento completamente diverso.

Esponenziale e logaritmo

La funzione esponenziale y = aˣ (con a > 0 e a ≠ 1) è definita su tutto ℝ, è sempre positiva e passa per il punto (0, 1). Se a > 1 è crescente e cresce sempre più rapidamente; se 0 < a < 1 è decrescente e si avvicina a zero. È il modello di ogni fenomeno in cui la variazione è proporzionale alla quantità già presente: una popolazione batterica che si raddoppia a intervalli regolari cresce come 2ⁿ, e dopo 10 raddoppi è più di mille volte quella iniziale (2¹⁰ = 1.024). Per questo, nella conservazione degli alimenti, anche poco tempo in più alla temperatura sbagliata può fare una grande differenza.

La funzione logaritmica y = log_a x è l'inversa dell'esponenziale: il suo grafico è il simmetrico di quello esponenziale rispetto alla bisettrice y = x. Il dominio è x > 0, passa per (1, 0), e con a > 1 è crescente ma sempre più lentamente. Le scale logaritmiche, come il pH, servono proprio a comprimere grandezze che variano su molti ordini di grandezza.

Collegamento: esponenziale e logaritmo descrivono crescite e decrescite. Per i fenomeni che si ripetono servono le funzioni trigonometriche.

Funzioni trigonometriche

Sulla circonferenza goniometrica, di raggio 1 e centro nell'origine, un angolo x individua un punto: il coseno è la sua ascissa, il seno la sua ordinata. Da qui derivano le proprietà principali: seno e coseno sono definiti su tutto ℝ, assumono valori tra −1 e 1, sono periodici di periodo 2π, e vale la relazione fondamentale sin²x + cos²x = 1. La tangente tan x = sin x / cos x ha periodo π e non è definita dove il coseno si annulla (x = π/2 + kπ). Seno e coseno sono i modelli base dei fenomeni periodici, come l'andamento delle temperature nell'arco della giornata o dell'anno.

Collegamento: conoscere le funzioni elementari significa anche sapere cosa fanno "ai bordi" del loro dominio — vicino a un punto escluso o per x che cresce senza fine. È la domanda a cui rispondono i limiti.

Limiti

Scrivere lim_x→c f(x) = L significa che, avvicinando x a c quanto si vuole, f(x) si avvicina quanto si vuole a L. La definizione del programma formalizza questa idea; per lo studio conviene fissare i casi possibili: limite finito o infinito, per x che tende a un numero o a ±∞, e i limiti destro e sinistro, che devono coincidere perché il limite esista. I limiti infiniti in un punto corrispondono agli asintoti verticali, i limiti finiti all'infinito agli asintoti orizzontali: lim_x→+∞ 1/x = 0, quindi y = 0 è asintoto orizzontale dell'iperbole.

Tra i teoremi principali ci sono l'unicità del limite, la permanenza del segno (se il limite è positivo, la funzione è positiva vicino al punto) e il teorema del confronto (se una funzione è "stretta" tra due che tendono allo stesso limite, tende anche lei a quel limite). Le operazioni sui limiti permettono di calcolare il limite di somme, prodotti e quozienti a partire dai limiti dei singoli pezzi, tranne nelle forme indeterminate — ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞, 0/0 — dove il risultato dipende da come le funzioni tendono ai loro limiti e serve un passaggio in più. Il limite serve anche a definire la continuità: f è continua in c se lim_x→c f(x) = f(c). Le funzioni elementari sono continue in tutto il loro dominio.

Collegamento: alcune forme indeterminate si presentano così spesso che il loro risultato va saputo a memoria: sono i limiti notevoli.

Limiti notevoli

I limiti notevoli sono risultati già calcolati a cui ricondurre le forme indeterminate. I principali:

• lim_x→0 (sin x) / x = 1
• lim_x→0 (1 − cos x) / x² = 1/2
• lim_x→+∞ (1 + 1/x)ˣ = e
• lim_x→0 (eˣ − 1) / x = 1
• lim_x→0 ln(1 + x) / x = 1

Il terzo è la definizione del numero di Nepero e ≈ 2,718, la base dell'esponenziale e del logaritmo naturale. Più che memorizzarli, conviene riconoscerne la forma: un limite in cui compare sin x / x con x che tende a zero, anche dentro un'espressione più lunga, si semplifica sostituendo quel pezzo con 1.

Collegamento: la terza unità applica i limiti anche a un tipo particolare di funzione, definita solo sui numeri naturali: le successioni.

Progressioni e serie

Una successione è una lista ordinata di numeri a₁, a₂, a₃, …. Due tipi hanno formule dedicate. Nella progressione aritmetica ogni termine si ottiene dal precedente sommando una costante d (la ragione): aₙ = a₁ + (n − 1)d, e la somma dei primi n termini è Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. È la formula con cui, secondo l'aneddoto, Gauss da bambino sommò i numeri da 1 a 100: 100 × 101 / 2 = 5.050. Nella progressione geometrica ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per una costante q: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹, e la somma dei primi n termini è Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q), con q ≠ 1. La crescita batterica per raddoppi è una progressione geometrica di ragione 2.

Una serie è la somma di infiniti termini di una successione, definita come limite delle somme parziali Sₙ. Può convergere a un numero finito o divergere. La serie geometrica converge se |q| < 1, con somma a₁ / (1 − q): 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2. La serie aritmetica con ragione diversa da zero diverge sempre, perché i termini non si avvicinano a zero.

Collegamento: il limite è anche lo strumento che permette di misurare quanto velocemente cambia una funzione. È il passaggio dalla terza alla quarta unità.

La derivata

Il rapporto incrementale [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h misura la variazione media di f tra x₀ e x₀ + h; graficamente è la pendenza della retta che passa per i due punti. La derivata f′(x₀) è il limite di questo rapporto per h che tende a zero: la variazione istantanea. Il suo significato geometrico è la pendenza della retta tangente al grafico nel punto, che ha equazione y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀).

Sull'esistenza: se una funzione è derivabile in un punto è anche continua, ma non vale il contrario. L'esempio classico è la funzione modulo |x| in x = 0: è continua, ma da sinistra la pendenza è −1 e da destra +1, il limite del rapporto incrementale non esiste e il grafico ha un punto angoloso.

Collegamento: calcolare ogni derivata dalla definizione sarebbe lento. Il programma prosegue con le derivate delle funzioni elementari e le regole per combinarle.

Regole di derivazione e studio di funzione

Le derivate delle funzioni elementari da sapere sono: (c)′ = 0 per una costante, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x. Le regole permettono di derivare qualsiasi combinazione: la derivata di una somma è la somma delle derivate, (f · g)′ = f′g + fg′ per il prodotto, (f/g)′ = (f′g − fg′)/g² per il quoziente, e per le funzioni composte la derivata esterna si moltiplica per quella interna (regola della catena).

Il legame tra derivata e andamento è il cuore dell'unità: dove f′ > 0 la funzione è crescente, dove f′ < 0 è decrescente, e i massimi e minimi interni vanno cercati tra i punti stazionari, dove f′ = 0 (teorema di Fermat). Completano il quadro i teoremi di Rolle e di Lagrange (o del valor medio), che garantiscono, sotto certe ipotesi, un punto in cui la tangente è parallela alla corda. Un esempio completo: per f(x) = x³ − 3x la derivata è f′(x) = 3x² − 3, che si annulla in x = −1 e x = 1. La derivata è positiva per x < −1 e x > 1 e negativa tra −1 e 1: la funzione cresce, scende, poi risale. x = −1 è un massimo relativo, con f(−1) = 2; x = 1 un minimo relativo, con f(1) = −2.

Collegamento: la derivata risponde alla domanda "quanto velocemente cambia?". L'integrale risponde a quella opposta: "quanto si è accumulato?".

Integrali

Una primitiva di f è una funzione F la cui derivata è f. Le primitive di una funzione differiscono per una costante, e il loro insieme si chiama integrale indefinito: ∫ f(x) dx = F(x) + C. Le primitive delle funzioni elementari si leggono "al contrario" dalla tabella delle derivate: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (per n ≠ −1), ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C.

L'integrale definito ∫ₐᵇ f(x) dx nasce da un problema diverso, il calcolo dell'area sotto una curva, approssimata con rettangoli sempre più sottili. Il suo significato geometrico è l'area con segno tra il grafico e l'asse x: le parti sotto l'asse contano negativamente. Il teorema fondamentale del calcolo integrale collega i due concetti: se F è una primitiva di f, allora ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Ad esempio ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3. È lo strumento per calcolare una grandezza accumulata a partire dalla sua velocità di variazione.

Collegamento: con gli integrali si chiude la parte di analisi. Prima di passare alla statistica, conviene rimettere in fila le funzioni elementari con tutto quello che si è visto su di esse.

Sintesi: le funzioni elementari a confronto

Retta, parabola, esponenziale, logaritmo e iperbole compaiono in tutte e quattro le unità di matematica: se ne studia il dominio nella seconda, il comportamento ai limiti nella terza, la derivata nella quarta. Scegli una dimensione per confrontarle.

Collegamento: l'analisi descrive relazioni esatte tra variabili. La quinta unità affronta un problema diverso: descrivere dati reali, che variano e contengono errori.

Dati, variabili e frequenze

La statistica descrittiva parte dalla raccolta dei dati. Si osserva una popolazione (tutte le unità di interesse) o, più spesso, un campione, e su ogni unità statistica si rileva una o più variabili. Il tipo di variabile decide quali strumenti usare. Le variabili qualitative sono nominali se le modalità non hanno un ordine (il tipo di farina) e ordinali se lo hanno (un giudizio da "scarso" a "ottimo"). Le variabili quantitative sono discrete se assumono valori isolati (il numero di difetti in una confezione) e continue se possono assumere qualsiasi valore in un intervallo (peso, temperatura, pH).

Contando quante volte compare ogni modalità si ottiene la distribuzione di frequenza: la frequenza assoluta è il conteggio, quella relativa il conteggio diviso per il totale (e moltiplicata per 100 diventa percentuale), quella cumulata somma le frequenze fino a una certa modalità. Per le variabili continue i dati si raggruppano in intervalli di frequenza, le classi. Un esempio con 20 porzioni pesate:

Le frequenze relative sommano sempre a 1, e l'ultima frequenza cumulata è sempre uguale al totale delle osservazioni: sono due controlli rapidi per verificare una tabella.

Collegamento: una tabella di frequenza si legge molto meglio come grafico, ma ogni tipo di dato ha il suo.

I grafici statistici

Tra gli obiettivi c'è saper scegliere una rappresentazione grafica coerente con il tipo di dati e con lo scopo dell'analisi. I diagrammi principali sono quattro, più uno legato ai quartili.

L'errore più comune è trattare un istogramma come un diagramma a barre: se le classi hanno ampiezze diverse, l'altezza di ogni rettangolo deve essere la densità di frequenza (frequenza divisa per l'ampiezza della classe), altrimenti le classi più larghe sembrano più importanti di quanto siano.

Collegamento: un grafico mostra la forma di una distribuzione; per confrontare due distribuzioni servono numeri che la riassumano. I primi sono gli indici di posizione.

Indici di posizione

Gli indici di posizione indicano dove si colloca il "centro" dei dati. La media aritmetica è la somma dei valori divisa per il loro numero; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (con un numero pari di dati, la media dei due centrali); la moda è il valore più frequente, l'unico indice utilizzabile anche con variabili qualitative nominali. I quantili generalizzano la mediana: i quartili dividono i dati ordinati in quattro parti uguali, e la mediana coincide con il secondo quartile.

La scelta tra media e mediana non è indifferente, e il programma chiede di conoscere le condizioni in cui ciascun indice si usa in modo appropriato. La media usa tutti i valori ed è quindi sensibile ai valori anomali; la mediana no. Nei pesi 497, 498, 500, 502 e 513 g la media è 502 g, spinta in alto dall'ultimo valore, mentre la mediana resta 500 g. Con distribuzioni asimmetriche o dati con valori estremi, la mediana descrive meglio il valore tipico.

Collegamento: due insiemi di dati possono avere la stessa media ed essere molto diversi. Per distinguerli servono gli indici di dispersione.

Indici di dispersione

Gli indici di dispersione misurano quanto i dati sono sparpagliati. Il campo di variazione è la differenza tra valore massimo e minimo: facile, ma dipende solo da due valori. La varianza usa tutti i dati: è la media dei quadrati degli scarti dalla media. Gli scarti si elevano al quadrato perché la loro somma semplice è sempre zero. La deviazione standard (o scarto quadratico medio) è la radice quadrata della varianza, e ha il vantaggio di essere nella stessa unità di misura dei dati. Nella statistica descrittiva la varianza si calcola dividendo per n; alcuni testi, quando si lavora su un campione, dividono per n − 1: segui la convenzione usata nelle lezioni.

Prova il calcolo su tre lotti di confezioni di pasta da 500 g, cinque confezioni per lotto. I primi due hanno la stessa media, il terzo contiene un valore anomalo:

Dati di esempio, scelti per l'esercizio. Varianza calcolata dividendo per n.

Collegamento: la dispersione dei dati non dipende solo dal fenomeno: dipende anche da come è stato misurato. È l'ultimo tema del programma, la teoria della misura.

Misura: precisione, accuratezza, errori

Ogni misura è il confronto tra una grandezza e un'unità di riferimento, e nessuna misura è esatta: il risultato si scrive come valore più o meno un'incertezza. Il programma distingue due qualità di un procedimento di misurazione. La precisione indica quanto le misure ripetute sono vicine tra loro; l'accuratezza indica quanto sono vicine al valore vero. L'immagine classica è il bersaglio: colpi raggruppati ma lontani dal centro sono precisi ma non accurati, colpi sparsi attorno al centro sono accurati in media ma poco precisi.

Alle due qualità corrispondono due tipi di errore. L'errore casuale fa oscillare le misure in modo imprevedibile, a volte in eccesso e a volte in difetto: riduce la precisione, e si attenua ripetendo la misura e facendo la media. L'errore sistematico sposta tutte le misure nella stessa direzione: riduce l'accuratezza, e ripetere la misura non serve, perché si ripete anche l'errore. Si corregge solo tarando lo strumento o cambiando procedura. La dispersione delle misure ripetute, misurata dalla deviazione standard, è quindi un indicatore degli errori casuali, non di quelli sistematici.

Per quantificare un errore si usano l'errore assoluto, nella stessa unità della misura, e l'errore relativo, il rapporto tra errore assoluto e valore misurato: un errore di 1 g pesa molto su 10 g (10%) e pochissimo su 1 kg (0,1%). È il criterio con cui si confronta la qualità di misure di grandezze diverse.

Collegamento: con la teoria della misura si chiude il testo del programma. L'elenco delle videolezioni, però, aggiunge tre argomenti che collegano la statistica descrittiva alla probabilità.

Nelle videolezioni: combinatoria, probabilità, distribuzione normale

Tra le lezioni pubblicate in scheda compaiono anche Calcolo combinatorio, Probabilità e La distribuzione normale, che il testo delle cinque unità non elenca: conviene quindi controllarne i contenuti direttamente in piattaforma. I concetti di base sono questi. Il calcolo combinatorio conta i modi di scegliere o ordinare oggetti: le permutazioni di n oggetti sono n! (n fattoriale), le combinazioni di n oggetti presi k alla volta, quando l'ordine non conta, sono n! / [k!(n − k)!]. Per scegliere 2 ingredienti su 5 ci sono 10 combinazioni.

La probabilità classica di un evento è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, se tutti i casi sono ugualmente probabili: lanciando due dadi, la somma 7 si ottiene in 6 casi su 36, con probabilità 1/6. Per eventi incompatibili le probabilità si sommano, per eventi indipendenti si moltiplicano.

La distribuzione normale (o gaussiana) è la curva "a campana" che descrive molte grandezze misurate e, in particolare, gli errori casuali. È simmetrica attorno alla media, con media, mediana e moda coincidenti, ed è definita da due soli parametri, media e deviazione standard. Vale la regola empirica 68-95-99,7: circa il 68% dei valori cade entro una deviazione standard dalla media, circa il 95% entro due e circa il 99,7% entro tre. Collega le due metà della quinta unità: la deviazione standard degli indici di dispersione e gli errori casuali della teoria della misura.

Collegamento: con la distribuzione normale si chiude il percorso. Le sezioni che seguono riguardano come organizzare lo studio.

Metodo di studio consigliato

Alcuni criteri utili per organizzare lo studio, in base alla struttura del programma:

• Ripassa i prerequisiti prima di iniziare, non quando ti blocchi. Frazioni, potenze, equazioni di secondo grado e piano cartesiano sono dati per acquisiti; una settimana di ripasso all'inizio ti fa risparmiare tempo su tutte le unità successive.
• Segui l'ordine delle unità. A differenza di altre materie, qui non si può partire dall'argomento che interessa di più: i limiti usano le funzioni, le derivate usano i limiti. La statistica è l'unica unità che si può studiare anche in parallelo.
• Fai gli esercizi con carta e penna, prima di guardare la soluzione. Il corso dedica un terzo circa delle lezioni alle esercitazioni: guardarle senza rifarle da solo dà l'impressione di aver capito, ma non allena il calcolo.
• Costruisci un formulario personale con proprietà di potenze e logaritmi, condizioni di esistenza, limiti notevoli, derivate e primitive elementari. Scriverlo a mano è già un ripasso, e lo riuserai in Fisica.
• Controlla sempre la plausibilità del risultato. È un obiettivo esplicito del corso: una probabilità maggiore di 1, una varianza negativa o una media fuori dall'intervallo dei dati indicano un errore di calcolo.
• Usa i test di autovalutazione di ogni lezione: il programma li prevede proprio per verificare la comprensione argomento per argomento, prima di passare al successivo.

Come funziona l'esame

Il formato degli esami San Raffaele è spiegato nella guida dedicata, aggiornata quando le modalità cambiano. Prima di ogni appello controlla anche il programma ufficiale dell'insegnamento.

Quanto tempo serve

Con 6 CFU e una trentina di videolezioni, conviene mettere in conto 4-5 settimane: circa una per gli strumenti di base e le funzioni, una e mezza per limiti, derivate e integrali — la parte che richiede più esercizio — e una e mezza per la statistica, con qualche giorno finale di esercizi misti.

Il tempo dipende soprattutto dal punto di partenza. Chi ha fatto un liceo scientifico ritrova molti argomenti delle prime tre unità e può accorciare i tempi; chi non tocca la matematica da anni farà bene ad aggiungere una o due settimane di ripasso dei prerequisiti prima di iniziare.

Questa materia ti prepara a…

Il programma ufficiale indica le conoscenze di questo corso come base per gli insegnamenti che prevedono analisi di dati sperimentali, modelli quantitativi, controllo dei processi e valutazione della qualità e della sicurezza dei prodotti. Nel piano di studi L26 sono, tra gli altri, Fisica (nello stesso primo anno), Microbiologia degli alimenti, Principi di analisi degli alimenti e Igiene, sicurezza alimentare e controllo qualità. Su questa guida trovi già:

• Biochimica e chimica degli alimenti L26 San Raffaele — l'esame da 12 CFU del primo anno, dove proporzioni e percentuali servono subito, dal calcolo delle calorie in etichetta al pH
• Storia della gastronomia L26 San Raffaele — l'altra materia del primo anno pubblicata: il lato culturale del corso
• Gruppi studio L26 Scienze dell'Alimentazione e Gastronomia San Raffaele — la pagina di riferimento del corso, con il gruppo WhatsApp e una panoramica del piano di studi

Domande frequenti

Quanti CFU vale Fondamenti di matematica e statistica L26 San Raffaele?

6 CFU (cod. 0262206MAT05, SSD MAT/05). È una materia del 1° anno e lo stesso codice compare in entrambi i piani di studio L26 pubblicati per l'A.A. 2026/2027.

Cosa si studia in Fondamenti di matematica e statistica?

Il programma ufficiale ha cinque unità didattiche: teoria degli insiemi e notazioni (insiemi numerici, proporzioni, percentuali, potenze, logaritmi), rappresentazioni grafiche e funzioni (piano cartesiano, vettori, funzioni elementari), limiti e serie, derivate e integrali, elementi di statistica descrittiva e teoria della misura. Tra le videolezioni ci sono anche calcolo combinatorio, probabilità e distribuzione normale.

Serve essere bravi in matematica per superarlo?

No, ma servono le basi delle superiori. La scheda ufficiale indica come prerequisiti operazioni aritmetiche e algebriche, frazioni, proporzioni, percentuali, potenze, equazioni di primo e secondo grado e il piano cartesiano. Analisi matematica e statistica descrittiva invece vengono introdotte da zero durante il corso, e non ci sono propedeuticità.

È lo stesso esame di matematica degli altri corsi San Raffaele?

No. In L13 Scienze Biologiche c'è Matematica, Statistica e Bioinformatica (12 CFU), in L4 Fondamenti di Informatica e Matematica (12 CFU), nei corsi di ingegneria Analisi matematica. Fondamenti di matematica e statistica è l'esame da 6 CFU di L26, con esempi e applicazioni pensati per le scienze degli alimenti.

Come funziona l'esame di Fondamenti di matematica e statistica?

Il formato degli esami San Raffaele è spiegato nella guida dedicata agli esami Pegaso, Mercatorum e San Raffaele, che viene aggiornata quando le modalità cambiano. Controlla sempre anche il programma ufficiale dell'insegnamento prima dell'appello.

Quali libri sono consigliati per Fondamenti di matematica e statistica?

La base è il materiale in piattaforma. Per integrarlo la scheda ufficiale indica Matematica di base di Bigatti e Robbiano (Zanichelli / CEA), Matematica per le Scienze di Guerraggio (Pearson) e, per la parte di statistica, Statistica di base di Moore (Apogeo).

Qual è la differenza tra precisione e accuratezza di una misura?

La precisione indica quanto le misure ripetute sono vicine tra loro; l'accuratezza indica quanto sono vicine al valore vero. Gli errori casuali riducono la precisione e si attenuano ripetendo la misura e facendo la media; gli errori sistematici riducono l'accuratezza, spostano tutte le misure nella stessa direzione e si correggono solo tarando lo strumento o cambiando procedura.