Psicometria L24 Mercatorum

Psicometria è un esame da 9 CFU del secondo anno di Scienze e Tecniche Psicologiche L24 Mercatorum, nel settore della psicometria (M-PSI/03). Nel programma più recente è, nei fatti, il corso di statistica della laurea: insegna a descrivere i dati raccolti in una ricerca psicologica, a passare dal campione alla popolazione con la verifica delle ipotesi e a scegliere il test giusto, dal test t all'ANOVA, dalla correlazione al chi quadrato, anche con il software jamovi.

Per molti è l'esame che spaventa di più del secondo anno, soprattutto se la matematica è lontana. In realtà la matematica richiesta è quella delle scuole superiori: quello che conta è capire la logica che lega i passaggi. Questa guida mette in fila il programma, divide gli argomenti in venti blocchi con uno schema e un esempio numerico per i concetti chiave, spiega che cosa c'è nel programma da 54 lezioni del codice più vecchio e come è organizzato l'esame.

Di cosa parla il programma

Il PDF ufficiale del codice più recente dichiara lo scopo del corso: insegnare i temi legati alla misura in psicologia e i concetti di base per affrontare problemi di quantificazione e di elaborazione dei dati. Tra le conoscenze attese cita la statistica descrittiva e la statistica inferenziale a una e a due variabili; tra le abilità, la capacità di usare le principali tecniche di analisi dei dati nella ricerca psicosociale e di riportarne i risultati. Le videolezioni sono 45, in un elenco unico.

Con le regole d'esame del 2026/2027 a Mercatorum la prova finale copre le ultime dieci lezioni negli insegnamenti da almeno 5 CFU, come questo: qui sono le lezioni dalla 36 alla 45, dalla regressione semplice agli assunti del modello lineare generale, passando per chi quadrato e test non parametrici. All'atto pratico si contano i capitoli, e ogni capitolo può avere una o più videolezioni. I dettagli sono nella sezione Come funziona l'esame.

Codici, programma vecchio e nuovo, gruppo

L'esame esiste con due codici, entrambi da 9 CFU e al secondo anno, ma con programmi diversi. Il codice 0242509MPSI03I è quello del piano di studi 2026/2027 e ha il programma da 45 videolezioni descritto in questa guida, centrato sulla statistica descrittiva e inferenziale e sull'uso di jamovi. Il codice 0241809MPSI03I compare nel piano 2024/2025 e ha un programma da 54 videolezioni: la statistica occupa la prima metà, la seconda è dedicata alla teoria dei test, all'attendibilità e alla validità, all'analisi fattoriale e alla psicometria applicata alla clinica, alle organizzazioni, alla formazione e alla selezione del personale. Il codice esatto del tuo esame, e quindi il programma su cui studiare, è nel piano di studi della piattaforma.

Il dubbio su quale programma studiare ricorre spesso nel gruppo dell'esame. La regola è semplice: conta il programma associato al tuo codice. La parte di statistica di base è comune ai due programmi, e i blocchi 1-8 e 15-20 di questa guida servono anche a chi ha il codice più vecchio.

Argomenti del programma da approfondire

Il corso risponde a una domanda: come si passa da un foglio pieno di numeri a una conclusione affidabile su un fenomeno psicologico? Il percorso ha tre tappe. La prima è la statistica descrittiva: riassumere i dati con tabelle, grafici e pochi indici. La seconda è la logica inferenziale: capire quanto un risultato ottenuto su un campione può essere dovuto al caso. La terza sono i test, ognuno adatto a un tipo di domanda e di dati. I venti blocchi seguono l'ordine delle lezioni.

1. Misurare in psicologia: i concetti fondamentali

La psicometria nasce da un problema: molti oggetti della psicologia, come l'ansia, l'intelligenza o l'autostima, non si possono osservare direttamente. Sono costrutti, concetti teorici che si misurano attraverso indicatori osservabili, come le risposte a un questionario o i tempi di reazione in un compito. Misurare significa assegnare numeri alle osservazioni secondo regole esplicite, in modo che le relazioni tra i numeri rispecchino le relazioni tra le caratteristiche misurate.

Le lezioni iniziali fissano il vocabolario. Una variabile è una caratteristica che può assumere valori diversi; una costante no. Le variabili possono essere qualitative (categorie, come il genere o il tipo di scuola) o quantitative (numeri, come l'età o un punteggio), e queste ultime discrete (valori interi, come il numero di figli) o continue (qualsiasi valore in un intervallo, come il tempo). In un esperimento la variabile indipendente è quella che il ricercatore manipola o usa per formare i gruppi, la variabile dipendente quella che misura per vedere se cambia.

La popolazione è l'insieme di tutti i casi a cui si vuole generalizzare, il campione è la parte effettivamente studiata. Gli indici calcolati sulla popolazione si chiamano parametri e si indicano con lettere greche (μ per la media, σ per la deviazione standard); quelli calcolati sul campione si chiamano statistiche e si indicano con lettere latine (M o x̄, S). La statistica descrittiva riassume i dati del campione; la statistica inferenziale usa il campione per trarre conclusioni sulla popolazione, tenendo conto dell'errore dovuto al caso.

Le date che seguono servono a collocare i nomi che si incontrano nel corso: molti test portano il nome di chi li ha proposti.

Collegamento: non tutti i numeri hanno lo stesso significato. Che cosa si può fare con una variabile dipende dalla sua scala di misura.

2. Le scale di misura

La classificazione delle scale di misura di Stevens è uno degli argomenti più chiesti, perché da essa dipende quali indici e quali test si possono usare. Le scale sono quattro, in ordine di informazione crescente: ogni scala ha le proprietà della precedente più una.

Un caso discusso è quello delle risposte su scala Likert ("per niente d'accordo… del tutto d'accordo"): ogni singolo item è ordinale, ma la somma di molti item viene trattata di solito come una misura a intervalli. Un altro errore frequente è pensare che un numero renda quantitativa una variabile: codificare i corsi di laurea con 1, 2 e 3 non li trasforma in una scala a intervalli, e la loro media non ha alcun senso.

Collegamento: il primo modo di descrivere una variabile è contare quante volte compare ogni valore. Sono le distribuzioni di frequenza.

3. Frequenze, grafici e forma delle distribuzioni

Una distribuzione di frequenza elenca i valori di una variabile con il numero di casi che li presentano. La frequenza assoluta è il conteggio, la frequenza relativa è il conteggio diviso per il totale (la proporzione), la percentuale è la frequenza relativa per cento, la frequenza cumulata somma le frequenze fino a un certo valore e risponde a domande come "quanti hanno preso al massimo 24?". Per variabili con molti valori si raggruppano i dati in classi di uguale ampiezza.

Ogni tipo di variabile ha i suoi grafici. Per le variabili qualitative si usano il diagramma a barre, con barre separate, e il diagramma a torta. Per le quantitative si usano l'istogramma, con barre adiacenti perché i valori sono continui, il poligono di frequenza, che unisce i punti centrali delle barre, e il box plot, che mostra mediana, quartili e valori anomali.

Dal grafico si legge la forma della distribuzione. Può essere unimodale o bimodale (due picchi, spesso il segnale di due gruppi diversi mescolati), simmetrica o asimmetrica. L'asimmetria è positiva quando la coda lunga è a destra (pochi valori molto alti, come nei redditi), negativa quando la coda è a sinistra (pochi valori molto bassi, come in un esame facile). Un test troppo facile produce un effetto tetto, con molti punteggi ammassati in alto; uno troppo difficile un effetto pavimento.

Collegamento: una distribuzione si riassume con un valore che rappresenta il centro. Sono gli indici di tendenza centrale delle lezioni 5 e 7.

4. Moda, mediana e media

Gli indici di tendenza centrale rispondono alla domanda "qual è il valore tipico?". La moda è il valore più frequente: è l'unico indice usabile con variabili nominali, ma può non essere unica. La mediana è il valore che divide a metà la distribuzione ordinata: con un numero dispari di casi è il valore centrale, con un numero pari la media dei due centrali; richiede almeno una scala ordinale. La media aritmetica è la somma dei valori divisa per il loro numero, M = ΣX / N; richiede una scala almeno a intervalli.

La media ha due proprietà da ricordare. La somma degli scarti dalla media, cioè delle differenze tra ogni valore e la media, è sempre zero; nell'esempio −3, −1, −1, +1, +4 sommano a 0. Ed è sensibile ai valori estremi: se il punteggio 11 diventasse 31, la media salirebbe a 11, mentre la mediana resterebbe 6. Per questo con distribuzioni molto asimmetriche, come i tempi di reazione o i redditi, si preferisce la mediana. In una distribuzione simmetrica unimodale media, mediana e moda coincidono; con asimmetria positiva la media è maggiore della mediana, con asimmetria negativa è minore.

Collegamento: la mediana è un caso particolare di una famiglia più ampia: gli indici di posizione.

5. Gli indici di posizione: quartili e percentili

Gli indici di posizione indicano il valore sotto il quale cade una certa percentuale dei casi. I quartili dividono la distribuzione ordinata in quattro parti uguali: il primo quartile (Q1) lascia sotto di sé il 25% dei casi, il secondo (Q2) coincide con la mediana, il terzo (Q3) lascia sotto il 75%. I decili la dividono in dieci parti, i percentili in cento. Il rango percentile fa il percorso inverso: dato un punteggio, dice quale percentuale di casi ha un punteggio inferiore.

In psicologia i percentili sono molto usati per interpretare i test: dire che un bambino è al 10° percentile in un test di lettura significa che il 90% dei coetanei del campione normativo ha fatto meglio. Hanno un limite: le distanze tra percentili non sono uguali. Al centro della distribuzione, dove i casi sono tanti, pochi punti di differenza spostano molto il percentile; agli estremi servono differenze grandi.

Collegamento: lo scarto interquartile è già un indice di dispersione. Le lezioni 8 e 9 presentano gli altri.

6. Gli indici di dispersione: varianza e deviazione standard

Due classi possono avere la stessa media e distribuzioni molto diverse: in una tutti hanno voti vicini a 25, nell'altra metà prende 18 e metà 30. Gli indici di dispersione, o di variabilità, misurano quanto i dati sono sparsi. Il campo di variazione (range) è la differenza tra il valore massimo e il minimo: semplice, ma dipende solo da due valori. Lo scarto interquartile considera il 50% centrale ed è robusto agli outlier. La varianza è la media dei quadrati degli scarti dalla media; la deviazione standard è la sua radice quadrata ed è espressa nella stessa unità di misura dei dati.

Perché si eleva al quadrato? Perché gli scarti sommano sempre a zero: il quadrato elimina i segni e dà più peso agli scarti grandi. Perché a volte si divide per N − 1? Quando si usa un campione per stimare la varianza della popolazione, dividere per N la sottostima sistematicamente, perché gli scarti sono calcolati dalla media del campione e non da quella vera. N − 1 sono i gradi di libertà: dei cinque scarti, solo quattro sono liberi, perché il quinto è determinato dal vincolo che la somma sia zero. Il coefficiente di variazione, cioè la deviazione standard divisa per la media, permette di confrontare la variabilità di misure espresse in unità diverse.

Collegamento: media e deviazione standard insieme descrivono completamente la distribuzione più importante della statistica: la curva normale.

7. La curva normale

La distribuzione normale, o gaussiana, è una curva a campana con proprietà precise: è simmetrica rispetto alla media, unimodale, con media, mediana e moda coincidenti, e con code che si avvicinano all'asse orizzontale senza toccarlo. È definita da due parametri, media e deviazione standard: cambiando la media la curva si sposta, cambiando la deviazione standard si allarga o si stringe. Molte variabili psicologiche, come i punteggi di intelligenza, hanno una distribuzione approssimativamente normale, e molti test statistici assumono la normalità.

La proprietà più usata è la regola empirica: in una distribuzione normale circa il 68% dei casi cade entro una deviazione standard dalla media, circa il 95% entro due e circa il 99,7% entro tre. Con i punteggi del QI, che hanno media 100 e deviazione standard 15, circa due persone su tre hanno un punteggio tra 85 e 115 e circa il 95% tra 70 e 130.

Collegamento: per usare la curva normale con qualsiasi variabile si trasformano i punteggi in punti z. È il tema della lezione 11.

8. I punteggi standardizzati

Un punteggio grezzo da solo dice poco: 26 su un questionario è alto o basso? Dipende dalla media e dalla variabilità del gruppo. Il punto z esprime un punteggio come distanza dalla media in unità di deviazione standard: z = (X − M) / S. Un punto z positivo indica un punteggio sopra la media, negativo sotto, z = 0 esattamente sulla media. La distribuzione dei punti z ha sempre media 0 e deviazione standard 1; se i dati di partenza sono normali, è la normale standardizzata, le cui aree sono riportate nelle tavole.

I punti z servono a confrontare punteggi di test diversi: uno studente con z = 1 in matematica e z = −0,5 in italiano va relativamente meglio in matematica, anche se i voti grezzi dicessero il contrario. Per evitare decimali e segni negativi i test usano scale derivate, come i punti T (media 50, deviazione standard 10) o il QI di deviazione (media 100, deviazione standard 15). Per tornare dal punto z al punteggio grezzo si inverte la formula: X = M + z × S.

Collegamento: tutti questi calcoli si fanno in pochi secondi con un software. Il corso usa jamovi.

9. Analizzare i dati con jamovi

jamovi è un programma di analisi statistica gratuito e open source, costruito sul linguaggio R ma usabile con menu e finestre, senza scrivere codice. Ha un'interfaccia a foglio di calcolo: ogni riga è un caso (un partecipante), ogni colonna una variabile. I risultati compaiono accanto ai dati e si aggiornano automaticamente se i dati cambiano. È molto usato nell'insegnamento della statistica in psicologia proprio per la sua semplicità.

Le tre lezioni dedicate mostrano i passaggi di base. Prima di tutto bisogna impostare il tipo di misura di ogni variabile, che jamovi distingue in nominale, ordinale, continua e ID (identificativo): è l'equivalente pratico delle scale di Stevens, e determina quali analisi sono disponibili. Poi si manipolano le variabili: si calcolano nuove variabili con formule (per esempio il punteggio totale di un questionario come somma degli item), si ricodificano i valori (per esempio gli item formulati al contrario), si filtrano i casi. Infine si descrivono le variabili con il modulo Esplorazione, che produce frequenze, indici e grafici.

Il consiglio pratico è installarlo e rifare le analisi delle lezioni con dati inventati: vedere una tabella di output più volte rende molto più semplice riconoscerne le parti, cosa utile anche quando la domanda d'esame mostra un risultato da interpretare.

Collegamento: descritti i dati, il corso passa all'inferenza. La lezione 15 introduce la logica che regge tutti i test successivi.

10. La logica della verifica delle ipotesi

La verifica delle ipotesi serve a decidere se un risultato osservato in un campione, come una differenza tra due gruppi, è abbastanza grande da non essere attribuibile al caso. La logica è indiretta. Si formula un'ipotesi di ricerca (H₁), per esempio che una tecnica di rilassamento riduca l'ansia, e un'ipotesi nulla (H₀), che afferma l'opposto: nessun effetto, nessuna differenza. Poi ci si chiede: se H₀ fosse vera, quanto sarebbe probabile ottenere un risultato estremo come quello osservato? Se è molto improbabile, si rifiuta H₀ e si considera sostenuta H₁.

La soglia di improbabilità si chiama livello di significatività (α) e si fissa prima, di solito al 5% (0,05) o all'1% (0,01). I valori della distribuzione che portano a rifiutare H₀ formano la regione di rifiuto, delimitata dal valore critico. L'ipotesi può essere direzionale (monodirezionale, "il gruppo A avrà punteggi più alti") o non direzionale (bidirezionale, "i gruppi saranno diversi"): nel secondo caso α si divide tra le due code e il valore critico è più lontano dalla media.

Due precisazioni evitano gli errori più comuni. Il valore p è la probabilità di ottenere un risultato almeno così estremo se H₀ è vera: non è la probabilità che H₀ sia vera. E non rifiutare H₀ non significa averla dimostrata: significa solo che i dati non bastano per rifiutarla. Per questo si dice "non si rifiuta" invece di "si accetta".

Collegamento: per applicare questa logica alle medie serve sapere come si distribuiscono le medie dei campioni. È il tema delle lezioni 19 e 20.

11. La distribuzione delle medie campionarie e il test z

Se si estraessero dalla stessa popolazione moltissimi campioni della stessa dimensione e se ne calcolasse ogni volta la media, si otterrebbe la distribuzione delle medie campionarie. Ha tre proprietà: la sua media coincide con la media della popolazione μ; la sua deviazione standard, chiamata errore standard della media, è σ_M = σ / √N, quindi si riduce al crescere del campione; e la sua forma tende alla normale al crescere di N anche se la popolazione non è normale. Quest'ultima è la conseguenza del teorema del limite centrale, ed è il motivo per cui la normale è così importante nell'inferenza.

Il test z per una media si usa quando si conoscono media e deviazione standard della popolazione: si confronta la media del campione con μ dividendo la differenza per l'errore standard, z = (M − μ) / σ_M, e si confronta il risultato con il valore critico della normale standardizzata: 1,96 per un test bidirezionale con α = 0,05, 1,64 per uno monodirezionale.

Collegamento: lo stesso errore standard serve a costruire un intervallo intorno alla media del campione. Sono gli intervalli di confidenza della lezione 21.

12. Errore standard e intervalli di confidenza

La media di un campione è una stima puntuale della media della popolazione, ma è quasi certamente un po' diversa da essa. L'intervallo di confidenza è una stima per intervallo: un insieme di valori costruito in modo che, ripetendo la procedura su molti campioni, una percentuale stabilita degli intervalli contenga la media vera. Per l'intervallo al 95% con σ nota: M ± 1,96 × σ_M; per quello al 99% si usa 2,58.

L'esempio mostra il legame tra intervalli e test: se il valore previsto dall'ipotesi nulla cade dentro l'intervallo al 95%, il test bidirezionale con α = 0,05 non è significativo; se cade fuori, lo è. L'intervallo è più ampio quando la variabilità è alta, quando il campione è piccolo e quando si chiede una confidenza maggiore. Un'interpretazione corretta: "con una procedura che funziona nel 95% dei casi, stimiamo che la media sia tra 99 e 111", non "c'è il 95% di probabilità che la media sia in questo intervallo".

Collegamento: ogni decisione presa con un test può essere sbagliata. Le lezioni 22 e 23 trattano gli errori, la dimensione dell'effetto e la potenza.

13. Errori decisionali, dimensione dell'effetto e potenza

Quando si decide se rifiutare H₀ si possono commettere due errori. L'errore di primo tipo (α) è rifiutare H₀ quando è vera: concludere che c'è un effetto che non c'è, un "falso positivo". La sua probabilità è proprio il livello di significatività. L'errore di secondo tipo (β) è non rifiutare H₀ quando è falsa: non accorgersi di un effetto che c'è, un "falso negativo". Ridurre α rende più difficile rifiutare H₀ e quindi, a parità di condizioni, aumenta β.

La significatività dice se un effetto è probabilmente diverso da zero, non quanto è grande: con campioni enormi anche differenze minuscole diventano significative. Per questo si riporta la dimensione dell'effetto. Per il confronto tra medie la più usata è la d di Cohen, la differenza tra le medie divisa per la deviazione standard: d = (M − μ) / σ. Cohen ha proposto come riferimento 0,2 per un effetto piccolo, 0,5 per uno medio, 0,8 per uno grande. Nell'esempio del blocco 11, d = (105 − 100) / 12 ≈ 0,42: un effetto tra piccolo e medio, che con soli 16 partecipanti non è risultato significativo.

La potenza statistica è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa, cioè 1 − β: la capacità del test di accorgersi di un effetto reale. Aumenta con la dimensione dell'effetto, con la numerosità del campione, con un α più alto, con un'ipotesi direzionale (se la direzione è giusta) e con una minore variabilità delle misure. Per convenzione si cerca una potenza di almeno 0,80, e l'analisi della potenza si usa prima della ricerca per decidere quanti partecipanti servono.

Collegamento: nella ricerca vera la deviazione standard della popolazione quasi mai è nota. Per questo si usa il test t, dalla lezione 24.

14. Il test t a campione singolo

Il test t sostituisce il test z quando la deviazione standard della popolazione non è nota e va stimata dal campione. La stima introduce incertezza in più, soprattutto con campioni piccoli: per questo la distribuzione di confronto non è la normale ma la distribuzione t, simile alla normale ma con code più spesse. La sua forma dipende dai gradi di libertà: per il campione singolo gl = N − 1. Più i gradi di libertà crescono, più la t si avvicina alla normale, e i valori critici scendono verso 1,96.

Il test t a campione singolo confronta la media di un campione con un valore noto della popolazione: t = (M − μ) / S_M, dove S_M = S / √N è l'errore standard stimato, calcolato con la deviazione standard stimata (quella con N − 1 al denominatore).

Nelle tabelle di output di jamovi si leggono la statistica t, i gradi di libertà (gl o df), il valore p e, se richiesta, la dimensione dell'effetto. Nella pratica scritta il risultato si riporta in forma compatta: t(15) = 1,67, p > 0,05.

Collegamento: più spesso si confrontano due serie di punteggi: dello stesso gruppo in due momenti o di due gruppi diversi. Sono i test t delle lezioni 26-29.

15. Test t per campioni appaiati e indipendenti

Il test t per campioni appaiati, o dipendenti, si usa quando le due serie di punteggi vengono dagli stessi soggetti (prima e dopo un intervento) o da coppie abbinate (gemelli, coppie formate per età e sesso). Il trucco è calcolare per ogni soggetto la differenza tra i due punteggi e applicare un test t a campione singolo sulle differenze, con H₀ che la differenza media sia zero. I gradi di libertà sono il numero di coppie meno uno. Il disegno appaiato è più potente perché ogni soggetto fa da controllo a se stesso, eliminando le differenze individuali.

Il test t per campioni indipendenti confronta le medie di due gruppi formati da persone diverse, come un gruppo sperimentale e uno di controllo. La distribuzione di confronto è quella delle differenze tra medie; il suo errore standard si calcola dalla varianza combinata (pooled) dei due gruppi, una media delle due varianze pesata per i gradi di libertà. I gradi di libertà totali sono N₁ + N₂ − 2. Gli assunti sono la normalità delle popolazioni e l'omogeneità delle varianze, che jamovi verifica con il test di Levene; se è violata, si usa la versione di Welch, che non la richiede.

La lezione 29 insiste proprio sulla scelta corretta del test negli esperimenti reali: le domande da porsi sono quanti gruppi ci sono, se sono formati dalle stesse persone o da persone diverse, su che scala è misurata la variabile dipendente e se gli assunti sono rispettati. Usare un test per campioni indipendenti su dati appaiati, o viceversa, porta a conclusioni sbagliate.

Collegamento: con più di due gruppi il test t non basta più. Le lezioni 30-33 introducono l'analisi della varianza.

16. L'ANOVA a una via

Con tre o più gruppi si potrebbero fare tutti i confronti a coppie con il test t, ma ogni test ha il suo 5% di rischio di errore di primo tipo, e i rischi si sommano: con tre gruppi e tre confronti la probabilità di almeno un falso positivo sale verso il 14%. L'analisi della varianza (ANOVA) a una via verifica con un solo test l'ipotesi nulla che tutte le medie delle popolazioni siano uguali.

Il nome dice il metodo: si confrontano due stime della varianza. La varianza tra i gruppi (between) riflette quanto le medie dei gruppi differiscono tra loro; la varianza entro i gruppi (within) riflette le differenze individuali dentro ciascun gruppo, cioè l'errore. Il loro rapporto è la statistica F = varianza tra / varianza entro. Se H₀ è vera, le due stime sono simili e F è vicino a 1; se le medie differiscono davvero, la varianza tra i gruppi cresce e F diventa grande.

Un F significativo dice che almeno una media è diversa, non quale. Per saperlo si usano i confronti post hoc, che confrontano tutte le coppie correggendo il rischio di errore (come Tukey o Bonferroni, che divide α per il numero di confronti), oppure i confronti pianificati, decisi prima di raccogliere i dati in base alle ipotesi e quindi più potenti. La dimensione dell'effetto si esprime con l'eta quadrato (η² = SS_tra / SS_tot), la proporzione della varianza totale spiegata dall'appartenenza ai gruppi. Gli assunti sono gli stessi del test t per campioni indipendenti: normalità, omogeneità delle varianze, indipendenza delle osservazioni.

Collegamento: l'ANOVA confronta gruppi. Quando invece si studia se due variabili quantitative variano insieme si usa la correlazione.

17. La correlazione

La correlazione descrive la relazione tra due variabili quantitative misurate sugli stessi casi. Si visualizza con il diagramma di dispersione, in cui ogni punto è un caso. Il coefficiente di correlazione di Pearson (r) misura l'intensità e la direzione della relazione lineare: va da −1 (relazione negativa perfetta: al crescere di una variabile l'altra diminuisce) a +1 (relazione positiva perfetta), passando per 0 (nessuna relazione lineare). Si calcola come media dei prodotti dei punti z delle due variabili.

Il quadrato di r, il coefficiente di determinazione r², indica la proporzione di varianza condivisa: con r = 0,30, r² = 0,09, quindi le due variabili condividono il 9% della loro variabilità. Come riferimento indicativo, Cohen considera 0,10 una correlazione piccola, 0,30 media e 0,50 grande. La verifica di ipotesi (lezione 35) controlla se r è significativamente diverso da zero, con un test t a N − 2 gradi di libertà.

Collegamento: se due variabili sono correlate, si può usare una per prevedere l'altra. È la regressione, dalla lezione 36, dove inizia la parte della prova finale.

18. La regressione lineare semplice

La regressione lineare semplice usa una variabile, il predittore (X), per prevedere un'altra variabile, il criterio (Y). La previsione è una retta: Ŷ = a + bX. Il coefficiente b (pendenza) indica di quanto cambia in media Y quando X aumenta di una unità; l'intercetta a è il valore previsto di Y quando X vale zero. La retta si calcola con il metodo dei minimi quadrati: è quella che rende minima la somma dei quadrati degli errori di previsione, cioè delle differenze tra i valori osservati e quelli previsti (i residui).

Il coefficiente standardizzato β esprime la pendenza in punti z; nella regressione semplice coincide con r. La verifica delle ipotesi (lezione 37) controlla se la pendenza è significativamente diversa da zero, e quindi se il predittore migliora la previsione rispetto alla semplice media di Y. L'errore standard della stima indica quanto in media le previsioni si allontanano dai valori osservati. Il nome "regressione" viene da Galton e dalla regressione verso la media: con una correlazione imperfetta, i valori previsti sono sempre meno estremi dei valori del predittore, espressi in punti z.

Collegamento: correlazione e regressione richiedono variabili quantitative. Per le frequenze di variabili nominali si usa il chi quadrato.

19. Il chi quadrato e la valutazione della normalità

Il test del chi quadrato (χ²) lavora sulle frequenze, cioè su quanti casi cadono in ciascuna categoria. Confronta le frequenze osservate (O) con quelle attese (E) se fosse vera l'ipotesi nulla: χ² = Σ (O − E)² / E. Più le osservate si allontanano dalle attese, più χ² è grande. Ha due usi principali. Il test di bontà dell'adattamento verifica se una sola variabile si distribuisce secondo un modello, per esempio in modo uniforme (equiprobabilità) o secondo proporzioni note; i gradi di libertà sono il numero di categorie meno uno. Il test di indipendenza verifica se due variabili nominali sono associate in una tabella di contingenza; i gradi di libertà sono (righe − 1) × (colonne − 1).

Il chi quadrato richiede osservazioni indipendenti (ogni persona conta una volta sola) e frequenze attese non troppo piccole: la regola pratica chiede che siano almeno 5 nella maggior parte delle celle.

La lezione 39 torna sull'assunto di normalità dei test parametrici. Si valuta con i grafici (istogramma, grafico Q-Q, in cui i punti di una distribuzione normale si dispongono lungo una retta), con gli indici di asimmetria (skewness, 0 nella normale, positiva con coda a destra) e di curtosi (quanto la distribuzione è appuntita o piatta e quanto pesano le code rispetto alla normale), e con test formali come quello di Shapiro-Wilk, in cui un risultato significativo indica che i dati si discostano dalla normalità. Con campioni grandi questi test segnalano anche scostamenti irrilevanti, per cui vanno letti insieme ai grafici.

Collegamento: quando la normalità non regge o i dati sono ordinali si usano i test non parametrici. Sono le lezioni 40-45, insieme alla regressione multipla.

20. Test non parametrici, altre correlazioni e regressione multipla

I test non parametrici non richiedono che i dati seguano una distribuzione particolare e lavorano di solito sui ranghi, cioè sulle posizioni dei punteggi ordinati. Sono adatti a dati ordinali, a campioni piccoli e a distribuzioni molto asimmetriche; in cambio, quando gli assunti dei test parametrici sono rispettati, sono un po' meno potenti. Ogni test parametrico ha il suo corrispondente.

Le altre correlazioni della lezione 42 coprono i casi in cui le variabili non sono entrambe quantitative: la rho di Spearman è la correlazione di Pearson calcolata sui ranghi, per dati ordinali o relazioni monotone non lineari; la tau di Kendall si basa sulle coppie concordanti e discordanti ed è preferita con campioni piccoli e molti ranghi uguali; la correlazione punto-biseriale lega una variabile dicotomica a una quantitativa; il coefficiente phi lega due variabili dicotomiche.

La regressione multipla estende la regressione semplice a più predittori: Ŷ = a + b₁X₁ + b₂X₂ + … Ogni coefficiente indica l'effetto di un predittore tenendo costanti gli altri; i coefficienti standardizzati β permettono di confrontare il peso dei predittori misurati in unità diverse. L'R² indica la proporzione di varianza del criterio spiegata da tutti i predittori insieme; l'R² corretto lo ridimensiona tenendo conto del numero di predittori, perché aggiungerne uno fa sempre crescere un po' R². La selezione del modello (lezione 44) può essere simultanea, con tutti i predittori insieme, gerarchica, con blocchi inseriti in un ordine deciso dal ricercatore per vedere quanto R² aumenta (ΔR²), o automatica (stepwise), guidata solo dai dati.

Gli assunti della regressione e del modello lineare generale, tema dell'ultima lezione, sono: relazione lineare tra predittori e criterio; indipendenza degli errori; normalità dei residui; omoschedasticità, cioè varianza dei residui costante per tutti i valori previsti; assenza di forte multicollinearità, cioè predittori non troppo correlati tra loro, controllata con indici come il VIF. Il modello lineare generale è la cornice che unisce test t, ANOVA e regressione: sono tutti casi particolari dello stesso modello, in cui una variabile dipendente è spiegata da una combinazione lineare di predittori più un errore.

Collegamento: qui si chiude il programma da 45 lezioni. Chi ha il programma del codice più vecchio trova sotto i suoi argomenti in più.

Se hai il programma da 54 lezioni

Il programma del codice 0241809MPSI03I ha 54 videolezioni. La prima metà copre la stessa statistica del programma nuovo, con in più due lezioni di richiamo di matematica e una sulla probabilità, ma senza jamovi e senza i test non parametrici come lezioni dedicate. La seconda metà è propriamente psicometrica: teoria dei test, attendibilità, validità, analisi fattoriale, modelli di equazioni strutturali e applicazioni in clinica, nelle organizzazioni, nella formazione e nella selezione.

I concetti da aggiungere sono questi. La teoria classica dei test scompone ogni punteggio osservato in punteggio vero più errore (X = V + E); l'attendibilità è la quota di varianza dei punteggi dovuta al punteggio vero e si stima con il test-retest (stabilità nel tempo), con le forme parallele, con lo split-half corretto con la formula di Spearman-Brown e con l'alfa di Cronbach (coerenza interna, di solito considerata adeguata da 0,70 in su). La validità si articola in validità di contenuto, di criterio (concorrente e predittiva) e di costrutto (convergente e discriminante). L'analisi fattoriale individua pochi fattori latenti che spiegano le correlazioni tra molti item: esplorativa quando li cerca, confermativa quando verifica una struttura ipotizzata; i modelli di equazioni strutturali uniscono analisi fattoriale e regressione per stimare relazioni tra variabili latenti. Nella parte applicata ricorrono il burnout, descritto da Christina Maslach come esaurimento emotivo, depersonalizzazione o cinismo e ridotta realizzazione personale, e le misure di benessere e stress lavorativo. Con il programma da 54 lezioni le ultime dieci, quelle della prova finale, sono appunto le applicazioni (lezioni 45-54).

Lezioni, dispense e testi di riferimento

Secondo il PDF ufficiale ogni ora di didattica asincrona comprende una videolezione registrata, una dispensa con riferimenti bibliografici, tabelle e immagini, un questionario di autovalutazione di dieci domande a quattro opzioni e un file di riepilogo con obiettivi, struttura in paragrafi e parole chiave della lezione. La didattica sincrona comprende le webconference e un elaborato, entrambi facoltativi e utili per i punti premiali.

Il PDF del codice più recente indica come testo di riferimento facoltativo:

• Fondamenti di statistica. Introduzione alla ricerca in psicologia di Arthur Aron, Elliot J. Coups ed Elaine N. Aron (Pearson, sesta edizione, 2018): un manuale molto usato nei corsi di psicologia, che spiega ogni test con la stessa sequenza in cinque passaggi e molti esempi svolti

Il PDF del codice più vecchio indica invece Statistica per le scienze del comportamento di Joan Welkowitz, Barry Cohen e R. Brooke Ewen (Apogeo Education, 2013) ed Elementi di psicometria di Michela Balsamo (McGraw-Hill Education, 2017), quest'ultimo utile per la parte su test, attendibilità e validità.

Le domande d'esame riguardano i contenuti delle videolezioni e delle dispense: i libri servono ad approfondire, non sono obbligatori. Per la statistica, però, un manuale con esempi svolti aiuta molto a capire la logica dei passaggi.

Metodo di studio

• Segui l'ordine delle lezioni. In statistica ogni argomento poggia sui precedenti: senza deviazione standard non si capisce il punto z, senza punto z non si capisce il test z, senza test z non si capisce il test t. Saltare un blocco si paga dopo.
• Rifai a mano gli esempi. Media, varianza, punto z, test t, chi quadrato: farli una volta con carta e calcolatrice su pochi numeri fissa la logica meglio di qualsiasi riassunto. Gli esempi svolti di questa guida usano numeri piccoli apposta.
• Costruisci una tabella dei test. Per ogni test scrivi quando si usa, la formula, i gradi di libertà, gli assunti e il corrispondente non parametrico. Molte domande chiedono di scegliere il test adatto a una situazione.
• Impara a leggere l'output. Installa jamovi e rifai le analisi delle lezioni: riconoscere t, gl, p, F, r, R² ed eta quadro in una tabella è un'abilità che serve all'esame e per la tesi.
• Distingui i termini vicini. Varianza e deviazione standard, deviazione standard ed errore standard, significatività e dimensione dell'effetto, errore di primo e secondo tipo, correlazione e regressione, R² e R² corretto: sono le coppie in cui è più facile sbagliare.
• Non lasciare per ultime le lezioni 36-45. Con le regole del 2026/2027 sono la parte della prova finale in presenza: regressione, chi quadrato, normalità, test non parametrici e regressione multipla.

Domande e dubbi frequenti tra chi si prepara a questo esame

Ci sono riassunti o schemi condivisi?

È la richiesta più frequente nel gruppo dell'esame, dove gli studenti si scambiano riassunti, schemi e formulari. Sono utili per ripassare, ma per la statistica non sostituiscono gli esempi svolti: conviene verificare ogni formula sulle dispense e provarla su pochi numeri.

Quanto tempo serve per prepararlo?

È la seconda domanda più ricorrente. Le risposte variano molto in base alla familiarità con la matematica, e nel gruppo c'è sia chi lo ha trovato fattibile sia chi lo ha trovato difficile: aiuta molto studiare con costanza e nell'ordine delle lezioni. Trovi una stima nella sezione Quanto tempo serve.

Devo studiare il programma vecchio o quello nuovo?

Quello associato al codice del tuo piano di studi, che trovi in piattaforma: 0242509MPSI03I con 45 videolezioni, 0241809MPSI03I con 54. Il dubbio ricorre spesso nel gruppo, anche perché i materiali dei due programmi circolano insieme: la statistica di base è comune, la parte su test, attendibilità e applicazioni c'è solo nel programma vecchio.

Che domande ci sono all'esame?

Nel gruppo se ne parla spesso. Secondo il PDF, le domande valutano la comprensione delle nozioni teoriche e la capacità di ragionare usandole, con quattro opzioni di risposta. Per prepararsi conviene saper applicare le formule di base, scegliere il test adatto a una situazione e interpretare un risultato, oltre a conoscere le definizioni.

Ci sono video o esercizi che aiutano?

Nel gruppo si parla anche di video e tutorial di statistica da affiancare alle lezioni. Possono servire per chiarire un passaggio, purché seguano la stessa notazione: in statistica simboli e formule cambiano leggermente tra un manuale e l'altro, e la versione da usare all'esame è quella delle dispense.

Conviene fare webconference ed elaborato?

Sono facoltativi, ma valgono fino a 2 punti premiali in tutto: un punto per le webconference e uno per l'elaborato. Le regole sono nel PDF del programma e nella guida agli esami.

Come funziona l'esame

Come tutti gli esami Pegaso, Mercatorum e San Raffaele dal 2026: prova intermedia online (Lockdown Browser, da casa) seguita da prova finale obbligatoria in presenza per verbalizzare il voto definitivo.

Il PDF ufficiale prevede una prova scritta da 31 domande a risposta multipla con quattro opzioni, oppure un orale con almeno tre domande, a scelta dello studente nel rispetto del calendario. La lode spetta a chi risponde correttamente alle prime 30 domande e anche all'ultima. Fino a 2 punti premiali vengono dalla didattica sincrona: un punto per le webconference, ottenuto con due test superati da 0,5 punti ciascuno (almeno quattro risposte corrette su cinque), e un punto per l'elaborato, se giudicato sufficiente, scegliendo tra due tracce. Con le regole del 2026/2027, per cui a Mercatorum la prova finale copre le ultime 10 lezioni negli insegnamenti da almeno 5 CFU, il programma da 45 lezioni si divide così:

Per accedere alla finale servono almeno 15 punti su 24 alla prova intermedia, contando gli eventuali punti premiali; l'esame si supera con almeno 18/30. Con il programma da 54 lezioni la finale riguarda le ultime dieci lezioni in piattaforma, cioè le applicazioni della psicometria. In ogni caso l'ordine che conta è quello delle videolezioni del tuo corso: verificalo, e controlla la modalità prevista per il tuo appello prima di prenotare.

Quanto tempo serve

Il PDF del codice più vecchio quantifica l'impegno di 9 CFU in 225 ore: 54 di videolezioni, 9 di didattica interattiva e 162 di studio individuale. Per chi studia con regolarità conviene prevedere 5 settimane, di più se la matematica è un ricordo lontano: una per la statistica descrittiva e jamovi (lezioni 1-14), una per la logica dell'inferenza (15-23), una per test t e ANOVA (24-33), una per correlazione e la parte della prova finale (34-45), una per il ripasso con la tabella dei test e gli esempi da rifare a mano. Se prepari prima la prova intermedia, le lezioni 1-35 richiedono circa tre quarti del tempo.

Questa materia ti prepara a…

Psicometria è la base quantitativa di tutto il corso e si collega a molti esami:

• Disegni di ricerca, variabili, validità degli esperimenti e test psicologici in Metodi di ricerca psicologica; l'accordo tra osservatori e il kappa di Cohen in Modelli e tecniche di osservazione; i test neuropsicologici e i punteggi standardizzati in Neuropsicologia
• La tesi di laurea, se empirica, e le magistrali in psicologia, dove si riprendono analisi fattoriale, modelli lineari e regressione multipla
• Gli altri esami del corso sono nella guida al corso L24 Mercatorum; per un ripasso della statistica di base con esempi diversi, la guida a Statistica di un altro corso

Domande frequenti

Quanti CFU vale Psicometria a Mercatorum?

È un esame da 9 CFU del secondo anno di Scienze e Tecniche Psicologiche L24 Mercatorum, settore M-PSI/03. Esiste con due codici: 0242509MPSI03I, del piano di studi 2026/2027, con 45 videolezioni di statistica descrittiva e inferenziale e jamovi, e 0241809MPSI03I, del piano 2024/2025, con 54 videolezioni che aggiungono teoria dei test, attendibilità, validità e applicazioni. Il codice del tuo esame è nel piano di studi in piattaforma.

Com'è l'esame di Psicometria a Mercatorum?

Con le regole Mercatorum del 2026/2027 la prova intermedia, online, ha 24 domande a risposta multipla sulle lezioni 1-35 del programma da 45; la prova finale, in presenza, ha 7 domande sulle ultime 10 lezioni, dalla regressione ai test non parametrici. In alternativa ci sono l'esame scritto unico da 31 domande e l'orale. Fino a 2 punti premiali vengono dalle webconference (1 punto) e dall'elaborato (1 punto), e l'esame si supera con 18/30.

Quanto è difficile la psicometria?

Dipende soprattutto dalla familiarità con la matematica, ma il livello richiesto è quello delle scuole superiori: operazioni, frazioni, quadrati e radici. La difficoltà vera è capire la logica che lega gli argomenti, perché ognuno poggia sui precedenti. Studiare nell'ordine delle lezioni, rifare a mano gli esempi e costruire una tabella dei test rende l'esame molto più gestibile.

Quali sono le 4 scale di misurazione?

Secondo la classificazione di Stevens del 1946 sono nominale, ordinale, a intervalli e a rapporti. La nominale distingue solo categorie, l'ordinale aggiunge un ordine, quella a intervalli aggiunge distanze uguali tra i valori con uno zero arbitrario, quella a rapporti aggiunge uno zero assoluto. Dalla scala dipendono gli indici e i test che si possono usare: per esempio la media richiede almeno una scala a intervalli.

Che cos'è il punteggio Z e come si calcola?

È la distanza di un punteggio dalla media espressa in deviazioni standard: z = (X − M) / S. Un punteggio di 26 in una distribuzione con media 20 e deviazione standard 4 ha z = 1,5, cioè una deviazione standard e mezza sopra la media, intorno al 93° percentile se la distribuzione è normale. I punti z hanno sempre media 0 e deviazione standard 1 e servono a confrontare punteggi di test diversi.

Quali sono i due tipi di errori che si possono commettere in un problema di decisione statistica?

L'errore di primo tipo consiste nel rifiutare l'ipotesi nulla quando è vera, cioè vedere un effetto che non c'è; la sua probabilità è il livello di significatività α, di solito 0,05. L'errore di secondo tipo consiste nel non rifiutare l'ipotesi nulla quando è falsa, cioè non accorgersi di un effetto reale; la sua probabilità si indica con β, e 1 − β è la potenza del test.

Quando si usa il test t di Student per campioni indipendenti?

Quando si confrontano le medie di due gruppi formati da persone diverse, come un gruppo sperimentale e uno di controllo, su una variabile misurata almeno a intervalli, senza conoscere la deviazione standard della popolazione. Richiede normalità e omogeneità delle varianze, controllata con il test di Levene; se le varianze sono diverse si usa la versione di Welch, se la normalità non regge il test di Mann-Whitney.

Quando fare ANOVA?

L'ANOVA a una via si usa per confrontare le medie di tre o più gruppi indipendenti con un solo test, invece di fare tutti i test t a coppie, che farebbero crescere il rischio di errore di primo tipo. Confronta la varianza tra i gruppi con quella entro i gruppi attraverso il rapporto F. Se F è significativo, i confronti post hoc o pianificati indicano quali gruppi differiscono.

Quando si usa il test chi quadro?

Quando i dati sono frequenze di variabili nominali. Il chi quadrato di bontà dell'adattamento verifica se una variabile si distribuisce secondo un modello atteso, per esempio in modo uniforme; quello di indipendenza verifica se due variabili nominali sono associate in una tabella di contingenza. Confronta frequenze osservate e attese e richiede osservazioni indipendenti e frequenze attese non troppo piccole.

Qual è la differenza tra regressione lineare semplice e multipla?

La regressione semplice prevede una variabile criterio a partire da un solo predittore, con la retta Ŷ = a + bX. La multipla usa due o più predittori insieme: ogni coefficiente indica l'effetto di un predittore tenendo costanti gli altri, e R² indica la quota di varianza del criterio spiegata da tutti i predittori. La multipla richiede anche di controllare che i predittori non siano troppo correlati tra loro.

Che differenza c'è tra causazione e correlazione?

Una correlazione indica che due variabili variano insieme, non che una causi l'altra. La relazione può andare nella direzione opposta a quella supposta, oppure dipendere da una terza variabile che influenza entrambe. Per stabilire un rapporto di causa servono disegni sperimentali, in cui il ricercatore manipola la variabile indipendente e assegna i partecipanti ai gruppi in modo casuale.

A cosa serve jamovi ed è gratuito?

jamovi è un programma di analisi statistica gratuito e open source, basato sul linguaggio R ma usabile con menu, senza scrivere codice. Ha un'interfaccia a foglio di calcolo e produce statistiche descrittive, grafici, test t, ANOVA, correlazioni, regressioni e chi quadrato, con risultati che si aggiornano quando cambiano i dati. Nel corso di Psicometria di Mercatorum ha tre lezioni dedicate e una sull'ANOVA.